姜汉中

【摘要】反比例函数是北师大版初中数学九年级上册第六章的内容，也是初中数学的重要内容.让学生掌握一些解题技巧，提升相关题目的解题能力是教师在这一章节的重要目标.如果学生能抓住三类题型，即：反比例函数与一次函数综合的题型、反比例函数与不等式融合的图形、反比例函数与动点融合的图形，再对这些题型进行深入探析，就能加深对反比例函数的理解.

【关键词】初中数学;解题能力;反比例函数

教师以这三类题型作为训练的重点能丰富和提升学生在反比例函数上的解题技巧，让他们在实践与应用中将所学的反比例函数的知识与具体考查题型有效融合.在三类题目中学生将画图、观察、猜测、推理等数学活动融为一起，渐渐地、多维度地感知反比例函数的特征，进而提升数学素养.

1 与一次函数综合，考查函数性质

教师在考查学生对反比例函数掌握的情况时，往往是将一次函数与反比例函数融合起来呈现，以让学生形成综合性的解题能力，也让他们在比较与分析中更好地掌握反比例函数的性质与运用.大多学生在解决综合性问题时，往往容易将前后学到的知识混合起来，教师就需要依据学生的这一特点设计一些针对性的题目.在解析这类题目时，教师要指导学生把握好两种函数的性质，进而再指导他们以图象交点为突破口构建解析方程以分析图象的相关性质.

例如 如图1所示，直线y1=kx+1与双曲线y2=2x在第一象限交于点P（1，t），与x轴、y轴分别交于A，B两点，则能得出哪些结论？

这是一道开放题，主要是让学生都能参与其中.学生想到了点P（1，t）中的“t”是可以先求得的.他们由点p在双曲线y2=2x上，进而推得t=21=2.解题时学生抓住交点p，因为P（1，2），且在直线y1=kx+1上，进而他们推得2=k+1.即k=1.两个明显的结论被他们推得，他们将目光聚焦在△OAB上，有学生认为这是一个等腰三角形.他们先是从直线AB的解析式y=x+1入手，令x=0，则y=1，进而得出B（0，1）.也就是说，OB=1.同样的方法，他们令y=0，则x=-1，进而推得A（-1，0），OA=1.显然OA=OB，△OAB为等腰直角三角形.当然还有学生由图象直接推得当x>1时，y1>y2.如，连接OP，可以求△OBP的面积=12×1×1=12.△OAP的面积=12×1×2=1.

2 与不等式知识相联系，考查数式图象转化

在学习反比例函数时，学生发现这种函数具有数式的特点，它可用于探究方程或者不等式的数量关系.因此教师可引导学生深入探讨反比例函数与不等式的关系，进而帮助学生建立更为完整的数学体系.对于这一类题目，教师需要引导学生关注图象，进而让他们学会进行不等式与图象之间的转化.

例如 双曲线y=2k-1x的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是多少.

学生先要就题目的要求，画出大致的图象，再由反比例函数图象位置在第二、四象限这一条件，推断出2k-1<0，即，k<12.教师出这题的目的主要就是让学生进一步地掌握反比例函数的图象及其性质以及一元一次不等式的相关认知.如果直接让学生背诵，“对于 y=kx来说，当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小.当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一条象限内y随x的增大而减小.”显得枯燥无味，而用图形的形式呈现，就显得一目了然，便于学生掌握反比例函数图象的性质.

3 与几何最值相综合，考查基本模型

将反比例函数与几何联系起来，也是常见的题型，旨在考查学生综合运用认知的能力，同时也打通几何与函数之间的壁垒.一般地这类题目会涉及到相关图形的面积，相关线段的最值.学生需要仔细分析已知条件，将对应的问题进行转化，比如最值问题可以通过对称轴来转化.

例如 如图2所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA=2，OC=4，连接OB.反比例函数y=k1x（x>0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F.一次函数y=k2x+b的图象经过E、F两点.分别求出一次函数和反比例函数的表达式;点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标是多少.

这题学生先要将四边形为矩形的条件运用起来，即，OA=BC=2，OC=4.因为矩形在坐标轴内，可将边长的条件转为对应点的坐标，即，B（4，2），再由中点坐标公式求得D坐标为（2，1）.当学生抓住反比例函数y=k1x（x>0）的图象经过线段OB的中点D这一条件，就可得出k1=xy=2×1=2，进而反比例函数表达式为y=2x.接着学生令y=2，则x=1;令x=4，则y=12，所以点E坐标为（1，2），F（4，12）.如果设直线EF的解析式为y=k2x+b，代入E、F坐标就可获得：

2=k2+b12=4k2+b，即k2=12b=52.所以一次函数的解析式为y=-12x+52.

对于第二问，学生要尽可能地将其转化为最值的最基本的图形.教师可引导学生作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，显然地此时PE+PF最小.学生由E坐标自然地就获得对称点E′为（1，-2）.如果学生设直线E′F的解析式为y=mx+n，代入点E′、F坐标，就能求得直线E′F的解析式为y=56x-176.有了这样的结果，学生只要令y=0，则x=175，就能得出点P坐标为（175，0）.可见教师可引导学生分三步完成此类题目，首先是解析图象，其次是构建最值得基本图形模型，最后是完成最值分析.

4 结语

有关反比例函数的题型还有很多，教师可依据学生的学习状况不断地总结，以丰富他们的学习体验.培养学生的解题能力主要是提升他们自主学习的能力，增强他们攻坚克难的信心.当学生在解题过程中把握反比例函数的数式特点、图形特点，同时能准确定位反比例函数的思想内涵、知识联系点，他们就能探究出一般性的解析思路，进而改善思维品质.

参考文献：

[1] 张伯庆.聚焦探究教学 聚力数学实验——以“反比例函数图象的平移”一课为例[J].中国教育技术装备，2019（17）.

[2]沈习辉.聚焦反比例函數，探究综合性问题——以2020年江苏省中考试题为例[J].数学教学通讯， 2020（32）.