二次函数与等腰三角形结合的解题策略

2022-05-30滕丽

数理天地(初中版) 2022年11期

滕丽

【摘要】二次函数动点问题常常被作为压轴题，这类题目考察范围较广，对于学生基础知识掌握能力及思维方式均有较高的要求.本文就这类题目的解题思想及具体过程进行分析，主要是借助分类讨论思想并结合中考数学题实例进行分析，从而将二次函数动点问题进行剖析，帮助学生增加解决复杂数学题的信心.

【关键词】分类讨论;二次函数;等腰三角形

1 典型例题呈现

二次函数与等腰三角形结合的动点问题是十分常见的，本文重点以下题为例进行解析，这也是经过多方面比较分析后确定的典型例题，具有一定的代表性.具体如下：

如图1，已知抛物线：y=ax2-5ax+4与坐标轴分别交于点A、C ，过点C作BC∥x轴交抛物线于点C，若AC=BC.

（1）试求此抛物线的对称轴;

（2）求解该三角形中各个顶点的坐标，并试求抛物线的解析式;

（3）若点P在抛物线的对称轴上，且是处在x轴下方的动点.试探讨是否存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在则求出对应点P 的坐标;若不存在，则说明不存在的理由.

2 解题思路简要分析

第（3）题是该例题也是本文探究的重点所在，主要是利用分类讨论的思想进行解题，

以下重点对此进行探讨分析：对该题进行分析可知，可以将这类情况分为两种，即以AB为底或是为腰，当以AB为底时，还需要考虑到顶角的位置，即∠A或是∠B为顶角属于两种情况.对此，可以找到两个△PAB. 当以AB为底时，则△PAB中的顶角必然为∠P，这种情况下也能找到一个对应的△PAB.

分析了不同的情况后，按照各种情况进行独立求解即可.按照这一思想，在研究第一种情况时无需考虑第二种情况，这便是所谓的分类讨论思想，将复杂的问题进行简化，求解过程也更为简便.

3 运用分类讨论的思想解决上述例题

在提供了解题思路的基础上，便可以运用分类讨论的思想解决具体问题，本文中即重点探讨上述例题中第（3）题解题方法.

解经分析后可知，存在这样的点P使△PAB为等腰三角形，且这样的点P共有三个.

各个点P的位置可如图2所示.首先求解决以AB为腰、∠A为顶角的情况，此时标记为点P1.过点B作x轴的垂线与x轴交于点Q，直角三角形AQB中由勾股定理可得AB2=AQ2+BQ2=80.

可知在Rt△ANP1中有AN2=AP12-P1N2，将相关数据带入后可求出P1N=1992，由此也可得对应点P1坐标（2.5， -1992）.

第二种情况则为以AB边为腰，以∠B为顶角的△PAB，将该点P标记为P2，如由图2中的Rt△BMP2，再由勾股定理得BM2=BP22-P2M2.將题中相关数据代入式中可求得P2M=2952，则点P2对应的坐标为（2.5，4-2952）.

最后一种则是以AB边为底，∠P为顶角的△PAB，此时点P标记为P3，如图2中所示.作AB的垂直平分线，由△ABC为等腰三角形可知，垂直平分线过点C且与直线MN交于点P3.再过点P3作y轴的垂线，其垂足为点K，此时可知△CKP3与△AQB相似，因而有P3KCK=BQAQ=12，P3K=2.5，则可求出CK=5，OK=1，由此可得对应的点P3坐标为（2.5，-1）.综合上述的分析可知，符合题意要求的点P共三个，其对应点坐标分别为P1（2.5，-1992），P2（2.5，4-2952），P3（2.5，-1）.

4 其他例题解析

如图3所示，抛物线解析式为y=-45x2+245x-4，其与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M.P则为动点，在x轴上方且与M、C不在同一直线上，过点A及点B作CP的垂线，相交于点D、E，连接MD、ME.

△MDE可以为等腰三角形吗，若可以则求点P坐标，否则说明理由.

能，已知抛物线解析式，可求得对称轴为x=3，即对应点M（3，0）

令x=0，则y=-4，所以C（0，-4），△MDE为等腰三角形，此时可以分为三种情况;

第1，若DE⊥EM，则由题中DE⊥BE可知点E、M、B在同一直线上，B、M在x轴上，因而点E应当在x轴上;

由DE⊥BE可知点E与O重合，即直线PC与y轴重合，则不符合题意，排除这一情况.

第2，若DE⊥DM则同上，可以排除;

第3，若EM⊥DM，设直线PC与对称轴交于点N，因为EM⊥DM，MN⊥AM，

所以∠EMN=∠DMA，在△ADM与△NEM中，有∠EMN=∠DMA，EM=DM，∠ADM=∠NEM=135°，

所以△ADM∽△NEM，MN=MA=2，

所以N（3，2）设直线PC解析式为y=kx+b，将点N、C坐标代入解得