高廷学

【摘要】众所周知初中数学教学首要要求就是培养学生的数学思想，只有形成数学思想，学生对于数学的学习才能事半功倍.本文将对数学思想在初中函数教学中的运用进行探索，通过论述何为数学思想、数学思想的重要性以及当前数学教学中存在的问题，进而探究如何在初中函数中运用数学思想，通过培养学生的数学思想，开展数学教学工作.

【关键词】数学思想;函数教学;初中教学

初中数学学习对于学生的学习生涯而言是十分重要的，它对学生而言是今后數学学习的一个基础阶段，在这一阶段应该着重学生的数学思维和数学思想的培养[1].尽管数学成绩是学生数学能力的一个反映，但如何思考、如何获得解题方法以及最终解出正确答案才是数学学习的关键.正因如此，通过在日常数学教学中为学生培养数学思想是十分重要的，也是必要的，本文将对“数学思想在初中函数教学中的运用”这一点进行论述.

1 数学思想

1.1 数学思想

既然谈及数学思想在初中函数教学中的应用，那么何为数学思想？东北师范大学博士研究生导师史宁中曾经说过这样一段话：“数学教学的最终目标是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用教学的语言表达现实世界.而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型.”从史宁中教授的话中，我们不难看出：所谓的数学思想，就是身处于现实世界中，能够用数学的理论和方法来分析和计算现实中的万事万物，从而以一种理性客观的方式分析发生的现象.而遇到问题时，以这种数学思维思考问题并解决问题就是数学思想[2].

我们通常所说的等量替换、换元法、化归思想等等，都是可以称为数学思想方法.而我们从史宁中教授的话中也能够看出抽象、推理以及模型也是数学思想.那么二者的关系是什么？首先他们都作为数学思想;其次，前者的思想是建立在后者之上而提炼出来的.比如说，我们在计算题目时，为什么会在计算时想到等量代换？那是因为通过大量的计算和总结，等量代换思想可以由其他基本的思想推理出来.所以说，在进行初中数学教学时应着重培养学生的基本数学思想，也就是抽象、推理和模型思想，在此基础上培养学生的其他数学思想.

1.2 数学思想的重要性

数学思想的重要性，换言之，就是为什么要让学生具备数学思想.首先针对初中学生，初中数学是为他们奠定今后数学学习基础的阶段，在这一时期，学生的思考模式和思维习惯将很大程度地决定今后数学学习的难易程度[3].再者，数学思想是一种理性分析的思想，它是针对于数学题目的一种思维习惯，如果学生不具备这种思想，则学生在数学的学习上将会举步维艰.

在处理一些极具抽象性题目的问题，学生会摸不着头脑.比如说，小学数学多以应用题为主，其题目类型贴切生活实际，而初中数学则更加抽象化，涉及函数、几何等数学模型，这就要求学生具备一定的数学思想，否则学生很难切入问题的关键点.

2 当前数学思想教学存在的问题

2.1 对数学思想的不重视

当前很多数学教学缺乏对学生数学思想的培养，而初中数学教学缺乏对学生数学思想的培养是一个十分严重的问题.当前很多的教学现状就是依照课本的流程，按照课本的内容对学生进行“流程化教学”.而这种看似一条线的教学模式，却很少掺杂对学生数学思想的培养，这就导致很多学生在遇到题目时，“一看就会，一做就废.”很多老师把他归结为学生做题太少、知识点掌握不够熟练.但同时，许多时候是因为学生并没有建立起数学思想，在遇到课本题目时，能够轻松解决.可是当变换题目中某几个信息之后，学生再去做就会摸不着头脑.

数学思想没有建立起来.相信许多老师会有这样的经历：课堂提问学生解题方法时，稍微提醒学生就能把题目做出，可是缺乏老师的提醒学生就很难下笔.这就是相应的数学思想没有建立起来，只是记住例题答案，而不知变通.所以说.在初中数学课堂注重对学生数学思想的培养十分重要，而老师也应该将数学思想的培养贯穿在每堂课中.

2.2 老师的主体地位过于突出

老师在教学中的主体地位过于突出也是当前数学思想教学中存在的主要问题.这也是传统教学方式根深蒂固的一个表现.随着对教学的不断研究，现今的数学教学应该更多地注重学生作为教学的“主体”地位[4].过分强调老师的主体地位，将直接导致课堂中大部分时间是老师在讲述.而这恰恰忽略了“学生作为教学的主体地位”这一观念.

如何才能建立数学思想？思想的建立是一个不断思考、循环重复的过程，而这一思考过程只能由学生自身来完成，老师在这一过程中所起到的作用是循循善诱，起到“引导”的作用.而不是依赖于老师的思维惯性，使学生顺着老师的想法去思考，而一旦在教学时选择了后者，就会出现上文提到“一看就会，一做就废”.主体地位的问题，换言之，也可以看作学生课堂的参与度的问题，老师要更多调动学生投入到课堂当中，而不是单纯地让学生听老师的讲述，学生只有通过思考的过程，才能建立相应的数学思想[5].

3 如何在初中函数中运用数学思想

3.1 抽象思想

正如史宁中教授所说，数学基本思想分为抽象思想、推理思想以及模型思想.之所以强调抽象思想，是因为学生在接触到数学问题时，许多并不是像初中几何这种纯数学模型，而是题干中隐含数学信息，需要学生进行抽象提取.

题12011年开始运营的京沪高速铁路全长1318km，设列车的平均速度为300km/h.请考虑以下问题：

（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？

（2）京沪高铁列车形成y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？

（3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站？

如题1所示，这是一个现实性数学问题.对于这种题目就需要学生具备抽象思想，从中提取关键信息，像路程等于速度乘时间，并借此建立一次函数表达式.老师在带领学生学习时，不能单纯告知学生如何解题，而是要引导学生去分析题目，让学生自己去思考，从而自身提炼题目内涵.抽象的本质就是由繁化简，所以老师可以通过简化题目内容来帮助学生思考.比如，在讲解这道题目时，可以通过互动的方式开展教学，像“京沪高速铁路全长是什么？是路程.平均速度是什么？是速度.那我们要求什么？求时间.所以应该建立什么关系？是路程等于速度乘时间.”通过这种将复杂问题简单化以及与学生互动的方式，调动学生参与问题的思考，从而培养学生抽象能力.

3.2 推理思想

推理思想是建立在抽象思想之上的，需要学生对抽象出来的信息进行分析，开展假设或者进行一定的推导，从而进行解决数学问题的思想.对于不同的题目，它体现的方式也是不同的.

例如 以初中函数内容为例，有一元二次函数y=x22-6x+21.题干让讨论图象与x轴交点个数.其实就这道题目而言，可以直接通过判断Δ<0确定交点个数，但是这只是一个结论.在初中数学教学应着重培养学生的数学思想，所以老师要带领学生去分析为什么与x轴没有交点.且老师在带领学生推理结果时，要更加广泛化，通过对问题多角度分析从而帮助学生建立比较全面的推理思想，而不局限于单一角度，就这道题而言，可以通过判断图象开口方向，以及顶点位置来确定与x轴交点个数，也可以通过描点法画出函数图象来确定交点个数，甚至还可以通过图象的变化曲线规律（也就是单调性）来确定图象与x轴的交点个数（作为思维的拓展，而非强制性要求）.这种带领学生进行题目过程的分析，就是对学生推理能力和推理思想培养的过程.

3.3 模型思想

数学模型思想就是指通过数学符号、式子、数学关系描述特定问题或具体实际关系的数学结构.简单来说，就是以数学表达式来总结现实生活规律.而在遇到问题时，要求学生具有建立数学模型的意识.同样，对于图1例题而言，在看到题目是考察路程、速度、时间三者关系之后，学生就应该有意识地想到s=t·v.对于第二个例题而言，学生就应该想到Δ=b2-4ac.而这种模型思想需要老师在教学时有意识地进行引导.通过让学生对题目的不断熟练，以及随着抽象和思维能力的不断提高，能够快速地将数学题目向数学模型靠拢，从而提高做题效率，增加正确率.

例如 在初中数学的锐角三角函数部分，因为其涉及到图形的内容，所以对学生的模型思想要求就更高，像“直角三角形30°角所对直角边等于斜边的一半”、“锐角的正弦（sin A =∠A的对边斜边）”、“余弦（cos A = ∠A的临边斜边）”以及“正切（sin A =∠A的对边∠A的临边）”的概念还有“勾股定理（a2+b2=c2）”的应用等等都需要学生牢记于心.在碰到题目和图形时，能够快速地将题干信息对应到所学的模型当中，从而进行解题.比如图1的题目，已知直角三角形、一条直角边和斜边，求三角函数.这道题需要快速定位到直角三角形的正弦、余弦、正切的数学模型当中，老师在进行例题讲解时，需要有意地强调这些数学模型，并不只是提出正余弦的概念名称，需要把概念内容也重复出来，这样在课堂讲解的同时，能够帮助学生下意识地重复记忆这些模型.另外，还可以通过对题目进行拓展延伸，让同学进一步加深对数学模型的记忆和理解.比如，就这道题而言，可以增加一问：在已知上方条件和前一问结果的前提下，请求解第三边的长度.而求第三边的长度可以通过∠B的正弦以及∠A的余弦进行求解，还可以通过勾股定理求解.通过多角度的题目延伸加深学生对数学模型的理解和记忆，从而培养学生的模型意识.

在直角△ABC中，∠C=90°，AB=10，

BC=6，求sinA，cosA，tanA的值.

需要注意的是，这三种思想并不能够完全分开，在教学时需要穿插进行.特别是抽象与推理思想，抽象與模型思想是密不可分的.在推理的过程中，需要老师从已有的知识出发，引领学生抽象出题目的本质信息加以解题.同时在构建模型的过程中，往往需要通过复杂的信息抽象出信息中的关系，就像例题一中的时间、速度与路程之间的关系.通过推理判断，从而找出正确的解题思路和解题方法.

5 结语

综上所述，数学思想在初中数学教学中尤为重要，老师在开展数学思想教学时，要重视对学生数学思想的培养，要注意学生在教学中的“主体”地位，通过引导学生思考而非老师灌输解题思路，从而让学生在自身分析、解决问题的过程中逐步培养抽象、推理和模型思想，从而提高学生的数学能力.

参考文献：

[1]柴丽佳.数学思想在初中数学函数教学中的应用研究[J].数学学习与研究，2020（22）：40-41.

[2]谢美琴.数学思想在初中数学函数教学中的应用探索[J].第二课堂（D），2021（04）：23-24.

[3]冯敏.数学思想在初中数学函数教学中的应用探讨[J].数学学习与研究，2021（08）：139-140.

[4]田颖芳.模型思想在初中数学函数教学中的应用——以《一次函数》为例[J].新课程教学（电子版），2020（02）：114.

[5]景年山.数学思想在初中数学函数教学中的应用研究[J].中学数学，2020（02）：84-85.