史承灼 刘习

摘要：“生长数学”理念下的数学课堂是充满活力的，教师在理解数学、理解教学、理解學生的基础上，结合学生原有的认知基础和最近发展区，在教学中抓住数学知识的生长点，通过创设合适的情境提出有效问题，让学生产生有意义的联想，使新知识在原有知识的基础上自然生成，使数学种子生根发芽，茁壮成长，枝繁叶茂。

关键词：“生长数学”  数形结合  数学思维

“生长数学”是基于数学课程标准提出的一种新的教学主张。所谓生长数学，其核心在于让学生学到有生长力的数学，即数学思维必然的东西、一以贯之的东西以及反复强化的东西。在教学中教师根据数学知识结构，结合学生现有认知水平，把学生现有的思维和数学知识结构作为种子或树干，通过创设有意义的情境以及提出有效问题等，使树干不断向四周延伸，生长出新的树干枝丫，使数学知识自然生成。

本文从“生长数学”的视角，在对“一次函数与一元一次方程、一元一次不等式”这节课的片段进行回顾的基础上，给出简要评析和实践反思。

一、教学片段回顾及简析

（一）立足于生长基，让知识的种子生根

师：在直角坐标系中画出一次函数y=2x+6的图像，该图像与坐标轴有什么关系？

生：直线y=2x+6与x轴交点为（-3，0），与y轴交点为（0，6）。

师：能从函数y=2x+6的图像上观察出一元一次方程2x+6=0的解吗？方程2x+6=0与函数y=2x+6有什么联系？

生：在函数y=2x+6中，当y=0时，就得到了方程2x+6=0。方程2x+6=0的解即为函数y=2x+6的图像与x轴交点的横坐标，即x=-3。

师：请再画出一次函数y=-2x-4的图像，并结合图像求出方程-2x-4=0的解。

生：函数y=-2x-4的图像与x轴交点坐标是（-2，0），所以方程-2x-4=0的解是x=-2。

师：结合图像，现在你们发现一元一次方程kx+b=0（k≠0）与一次函数y=kx+b（k≠0）的联系了吗？

生：当一次函数y=kx+b（k≠0）的函数值y=0时，可得一元一次方程kx+b=0（k≠0）。一元一次方程kx+b=0（k≠0）的解即为一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与x轴交点的横坐标。

简析：一元一次方程相关知识与一次函数的图像及性质等是本节课学习的知识基础，是新知种子的生长基。在教师的一连串提问中，形成了一个有效的思维场，学生有了正确的思维方向，头脑中的知识碎片逐渐建立联系，新的数学知识在原有知识的基础上自然生长，函数与方程之间的微妙关系通过图像被学生初步感知，新知的种子在生长基中开始生根。

（二）找准生长点，让学力的树干生出枝丫

师：通过上面的探究我们知道了一次函数与一元一次方程之间的关系。那么，当一次函数y=3x+6中的函数值y>0或y<0时，可以得到什么？

生：在一次函数y=3x+6中，当y>0时，得到不等式3x+6>0;当y<0时，得到不等式3x+6<0。

师：能否结合相应的一次函数图像，求出上述两个不等式的解集？

生：从一次函数y=3x+6的图像看，y>0表示图像在x轴上方的部分，这部分上的点的横坐标的范围是x>-2;y<0表示图像在x轴下方的部分，这部分上的点的横坐标的范围是x<-2。所以，3x+6>0的解集是x>-2，3x+6<0的解集是x<-2。

简析：由一次函数的图像观察一元一次不等式的解集，是本节课的一个难点，这要求学生要具有很好的数形结合能力。教学中，执教者以不等式解集的意义与一次函数图像的特点以及探究为生长点，以数形结合思想为生长路径，在循循善诱、层层递进的过程中，以图像为媒介构建了一次函数与一元一次不等式的联系，学生的学力树干开始生出新的枝丫。

（三）创设生长链，让思维的大树枝繁叶茂

师：请依据一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间的关系，解答下列问题：

（1）解方程：-3x+6=3;

（2）解不等式：-3x+6<3。

生1：在一次函数y=-3x+6中取y=3，可得第（1）题中的方程。因此，可先画出函数y=-3x+6的图像，图像上纵坐标为3的点的横坐标为1，所以方程-3x+6=3的解为x=1。

生2：在一次函数y=-3x+6中取y<3，可得第（2）题中的不等式。点（1，3）在函数y=-3x+6的图像上，图像上点（1，3）右边的点的横坐标x的取值范围x>1就是不等式-3x+6<3的解集。

师：为什么不等式-3x+6<3的解集是图像上点（1，3）右边点的x的取值范围呢？

生：因为一次函数y=-3x+6中的k<0，y随x的增大而减小。所以，当y<3时，不等式的解集是图像上点（1，3）右边的点的横坐标x的取值范围，即x>1。

师：有没有不同的想法？

生1：有。第（1）题的方程可以转化为-3x+3=0，第（2）题的不等式可以转化为-3x+3<0。所以，可以用一次函数y=-3x+3的图像求解方程和不等式。

生2：还有另一种解法。第（1）题的方程可以转化为-x+1=0，第（2）题的不等式可以转化为-x+1<0。所以，可以用一次函数y=-x+1的图像求解方程和不等式。

师：上面探究的是已知一次函数中y的值，求相应的x的值。反过来情况如何呢？请看下面的问题：

已知一次函数y=-3x+6。（1）当x<0时，求y的取值范围;（2）当x>3时，求y的取值范围。

生：（1）当x<0时，y的取值范围是一次函數图像y轴左边部分所对应的纵坐标取值范围，即y>6;（2）一次函数图像上横坐标为3的点是（3，-3），当x>3时，y的取值范围是图像上点（3，-3）的右边，即y<-3。

简析：通过前面两个环节的探索，学生已能初步地将“三个一次”，以图像为媒介，运用数形结合思想观察分析。由此继续生长出“三个一次”之间的内在关联，其知识和方法联结点是“数形结合”，其思维生长点既有正向思维，又有逆向思维，学力之树枝繁叶茂。

二、让生长数学立足于课堂

生长数学所强调的是将生命理念迁移到数学教学活动之中。在本节课中，执教者以学生原有知识和经验为生长基，以“三个一次”之间的关联为生长点，以数形结合为手段形成生长链，让学生在主动思考探究的过程中自然获得新知，提升了学生的数学思维品质。

（一）理解数学理解学生是高效教学的前提

高效数学教学的前提是理解数学、理解学生。把握数学的本质，要知道知识的来龙去脉，要能挖掘数学知识蕴含的价值资源。数学知识看似零碎但都有源头，这些源头就是数学生长的种子。同时，教师也要理解学生的数学认知规律与水平、学生的思维特征、课堂生成等教学中的种子。教师只有把握好这些“种子信息”，才能够设立合理的生长点，让新知识在原有知识的不断迁移、同化、顺应的过程中自然生长。

（二）在学生思维最近发展区着力

数学知识的学习不是一蹴而就的，学生在学习过程中通过其数学知识结构的不断扩充而使其数学认知结构不断完善，在进行新知识的讲解时，可以提出一些学生不能马上解决但能够与原有知识产生联想、引发思考的问题，学生通过探究、讨论等活动，主动获取新知。把握好学生知识生成的最近发展区，让学生通过“跳一跳”“伸一伸”的方式，使数学知识的藤蔓向上生长。

（三）重在培养学生的数学思维

数学教学就是发展学生数学思维。教学中应以学生原有思维水平为基础，遵循其思维发展规律，提高思维能力，完善思维结构。生长数学绝不是单单指数学知识的生长，数学思维能力的生长也举足轻重。想让学生的思维能力得到自然生长，首先要固化类比源，在学生面对新问题时，能够产生类比联想，能够“想得到”;其次是要注意课堂提问的技巧性与重要性，在问题链中生成思维链;最后是要重视整个知识体系的前后一致，营造一以贯之的思维形式。

三、结束语

数学课堂教学要重视数学知识整体性及结构性的教学，在以学生为主体的前提下，尊重并充分利用学生现有数学知识结构和认知水平，从生长点入手，让学生感受数学知识的生长过程，实现个人数学能力与思维能力的自然生长。

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