赵宁

【摘要】本文论述优化“分与合”的数学解题策略，引导学生在笔算乘法运算法则中，感受“先分后合”的数学转化思想、理解算法、优化计算方法;利用分与合数学解题策略解决平面图形中的复杂问题，为学习高阶数理化知识做铺垫。

【关键词】数学思想 分与合 建构模型

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）13-0139-03

数学解题策略是人们为实现数学解题目标而确定的具体方法，是更重要、更高级的思维能力。和其他事物一样，数学解题策略有着内在的规律性。在小学阶段，数学教学的根本任务是提高学生的综合素养，而教师指导学生掌握一些数学解题策略，则能帮助学生提高分析问题、解决问题的能力。以下，笔者就如何培养学生学会用“分与合”的数学解题策略去分析数学问题，谈谈具体的策略。

一、探究笔算乘法的运算法则

（一）口算中体现“先分后合”，感受转化的数学思想

人教版四年级上册教材中，第四单元《三位数乘两位数》例1充分运用了分与合的数学解题策略，教师要利用好教材，引导学生熟悉这一数学解题方式。

例1.李叔叔从某城市乘火车去北京用了12小时，火车每小时行145千米。该城市到北京有多少千米？

在学生正确列式“145×12=   ”后，笔者先让学生进行口算。学生经过思考，得出：

把12分成10和2。

2×145=290（千米）

10×145=1450（千米）

290+1450=1740（千米）

学生口算的过程就是一种解题策略——先分后合，即把12分成10和2，分别去乘三位数145，然后把两次乘得的积合起来，得出问题的答案。运用这种策略，也是实施了转化的数学思想，把新知识转化为旧知识，易于学生理解和吸收。

学生在口算过程中体验到了“先分后合”方式给解决问题带来的便利，从中体会到了成功的快乐。

（二）笔算中学习“先分后合”，理解算理、掌握算法

笔者引导学生进行三位数乘两位数的笔算方法自主探究，目的是让他们充分利用已有的知识经验（两位数乘两位数）探求新知。虽然大部分学生都能够正确计算出得数，但也要让他们在理解的基础上进行方法内化。

总结三位数乘两位数笔算的方法是本节课教学的重点，也是难点，教师要让学生充分地理解与掌握。对此，可以适时提问：145×12你是怎样笔算的？

学生答：相同数位要对齐，从个位乘起，先用两位数12中个位上的2去乘145，得出290个一，得数的末位要与因数的个位对齐;再用两位数12中十位上的1去乘145，得出145个十，得数的末位要与因数的十位对齐;最后把两次乘得的积加在一起。

根据学生的回答，笔者适时总结：145×12在笔算时，把12分成2和10，也就是把12小时分成了2小时和10小时。先用两位数中个位上的2去乘145，计算出火车2小时的路程;再用两位数中十位上的1去乘145，计算出火车10小时的路程;最后把两次乘得的积合起来，算出火车12小时的路程。可见，乘法笔算的过程体现了“先分后合”的数学解题策略。

（三）学会“先分后合”，优化计算方法

“先分后合”数学解题策略的运用为学生解决了数学计算的难题。有的学生在列竖式时，把两位数放在上面、三位数放在下面，发现了把145分成5、40和100时，分得的数多了一个，计算的步骤也多出一步，这样计算起来比较麻烦。由此得出：将位数少的那个数作为要分的数，计算起来步骤少且简便。可见，“分与合”也能优化算法，使学生少走“弯路”。

（四）感受“先分后合”，体验数学的内在联系

笔者接下来让学生观察两组算式并进行比较。一组是三位数乘两位数的口算与笔算;一组是两位数乘两位数与三位数乘两位数的笔算。学生通过仔细对比发现：三位数乘两位数的口算与笔算，都是把12小时分成2小时和10小时，分别去乘三位数，然后把两次乘得的积合起来，即运用了“先分后合”的解题策略。

第一组：      （口算）       （笔算）

把12分成10和2

2×145=290（千米）

10×145=1450（千米）

290+1450=1740（千米）

第二组：   （两位数乘两位数）  （三位数乘两位数）

两位数乘两位数与三位数乘两位数的笔算时，也是把第二个因数分成几个一和几个十，分别去乘第一个因数，然后把兩次乘得的积合起来，还是运用了先分后合的数学解题策略。学生通过观察两组算式的特点，解释了科学计算的合理性，解题时有规律可循、有方法可依。

（五）运用“先分后合”，建构数学模型

利用好分与合的数学解题策略，就可以让学生学一道题、解决一类题。如：1145×12，学生自然迎刃而解：把12分成2和10，先用2去乘1145，再用10去乘1145，最后把两次乘得的积加起来。笔者再出示题目：11145×12，学生很快说出了方法。学生在“解决具体问题—抽象出数学模型—解释并说明模型—用模型解决问题”这一系列的数学活动中，建立初步的模型化数学思想方法。一旦学生的数学模型思维建立起来，这类题目的框架就会根植学生的脑海中。

（六）学习格子乘法，深化“先分后合”

课的结尾，笔者引导学生观看15世纪意大利的一本算术书介绍的“格子乘法”，如下图所示。

格子乘法，顾名思义，是用方格进行乘法计算。如果是两位数乘两位数就打2×2的格子，如果是三位数乘两位数就打3×2的格子，以此类推。把因数分别写在格子的上方和右侧，使格子和数字对齐。先用最高位上的两个数字相乘，得数分别写在第一格的左上角和右下角;再用第一个因数最高位上的数和第二个因数次高位上的数相乘，得数分别写在第二格的左上角和右下角，依次算下去;最后把格子左斜线上的数加起来，写在格子的左边和下边，依次把数字连在一起，就是乘得的积。

学生通过看视频感受到了格子乘法的奇妙，也发现意大利的格子乘法与我们本节课学习的笔算一样，都体现了先分后合的解题策略。“先分后合”的数学解题策略有规律可循，学生在解题过程中明白了笔算三位数乘两位数每一个步骤的意义，理解了算理，又掌握了算法，从中形成了合理、灵活的计算能力，而且培养了学生的数感、分析综合能力及推理能力。

二、解决平面图形中的复杂问题

（一）数一数，下圖中有几条线段

刚开始接触这样的题目时，学生都感觉无从下手，被这个四边形中复杂的端点所迷惑。首先，笔者先帮助学生梳理思路、看懂图意，明确线段的特征是有2个端点，两点之间就有一条线段。其次，把这个四边形分成几大块，学生通过观察发现，可以将四边形分成三部分：第一部分是四边形的四条边，第二部分是四边形中的一条对角线，第三部分是四边形中的另一条对角线。这样就是把四边形分成6条线段，这个四边形的四条边都有一个共同的特点，就是有3个端点，每条边有几条线段，可以列式为2+1=3（条），共有四条边，那就是3×4=12（条）。再看其中一条对角线，上面有四个端点，这条对角线上的线段可以列式为3+2+1=6（条）。学生马上掌握了规律，把四边形的每条边和对角线都看作一条独立的线段，有助于分析问题和解决问题。另一条对角线上面有五个端点，列式为4+3+2+1=10（条）。最后，把三部分中的得数加起来：12+6+10=28（条）。

通过这道题，学生明白了做这类题型的时候，要把多边形拆分成独立的线段，然后逐一计算出每条边上的线段总数，最后把所有的线段数合在一起就得出了答案。这里也用到了重要的数学解题策略——先分后合。在平面几何中，运用“先分后合”的解题策略可以化难为易、化繁为简，把复杂的知识简单化。学生在解决问题的过程中体验到了成功的乐趣，有助于培养学生学习数学的兴趣，提高其数形结合的解题能力。

（二）求下列图形中阴影部分的面积

这是一个组合图形，求组合图形的面积可以用分割法，就是把一个组合图形根据它的特征和已知条件，分割成几个简单的规则图形，分别算出各个图形的面积，再求出它们的面积的和。从图中我们可以看到，可以把这个组合图形分割成1个正方形和2个长方形，分别算出它们的面积。

正方形的面积：3×3=9cm2

小长方形的面积：（9-3）×（9-3-3）=18cm2

大长方形的面积：9×3=27cm2

组合图形的面积：9+18+27=54cm2

由这类题型可知，分割法是求不规则图形的重要方法，恰当的分割能够让复杂的题目迅速得解，而分割的宗旨就是先分成规则图形，再把面积合在一起，体现“先分后合”的数学解题策略。

三、为学习高阶的数理化知识做铺垫

在小学阶段，“凑十法”“乘法分配律”等数学方法，都暗含着“先分后合”的策略;而在初中阶段，“拆分”与“合并”在代数式化简中至关重要;到了高中阶段，学生将要学习牛顿力学中的平抛运动等。由此，小学阶段的知识是基础，学生只有打好“地基”，才能牢固“上层建筑”。从小学一年级起，数学教材就出现了“分与合”，主要是以数的组成呈现的，比如：10可以分成1和9，1和9组成10。“分与合”是重要基石，学生初步明确几个数之间的关系，利用好“分与合”为后面学习加减法做好了充分的准备，体现了整体与部分之间最基本的关系。

“分与合”是数学思想的起步阶段，学好了这种数学思想方法，学生的思维能力会得到有效提升。教师在教学中渗透数学思想方法，能够系统整合学生的综合能力，使学生在学习中带着数学的眼光去观察、带着数学思维去思考问题、用数学语言去交流总结，并在头脑中形成数学模型，为学习其他数学知识奠基，让学生终生受益。

（责编 杨 春）