徐蓉 曹爱华 郭月玲

摘 要 “翻转课堂”作为一种全新的教学模式，其教育理念是转变师生角色，让学生成为学习的主体。与传统教学法相比，具有兼顾学生个体差异、增强师生互动交流、加强学生自主学习和团体合作的优势。所以本文立足于翻转课堂的工程数学教学研究，在我校电信学院2019级通信1901-02班开展实践教学，探究该教学法的可行性，并不断跟踪教学过程，及时发现问题并解决问题，从而更好的培养学生的自主能动性，提升课堂教学质量。

关键词 工程数学 教学实践 翻转课堂

中图分类号：G642                                   文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2021.03.026

Practice and Exploration of Engineering Mathematics Teaching

Based on Flipped Classroom

XU Rong， CAO Aihua， GUO Yueling

（Institute of Mathematical Science and Energy Engineering， Hunan Institute of Technology，

Hengyang， Hunan 421002）

Abstract As a brand-new teaching mode， the educational philosophy of "Flip Classroom" is to change the roles of teachers and students， so that students can become the main body of learning. Compared with the traditional teaching method， it has the advantages of taking into account the individual differences of students， enhancing the interaction between teachers and students， and strengthening students' autonomous learning and group cooperation. Therefore， this paper is based on the research of engineering mathematics teaching in flip classroom ， and carries out practical teaching in Class 1901-02， Grade 2019， School of Telecommunications， our school， explores the feasibility of this teaching method， keeps tracking the teaching process， finds problems and solves them in time， so as to better cultivate students' initiative and improve the quality of classroom teaching.

Keywords engineering mathematics; teaching practice; flipped classroom

工程数学包括线性代数、概率论与数理统计两门课程，主要应用于工程技术学科和管理学科的各个领域。目的在于培养学生的逻辑思维、抽象思维能力及分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础。由于课时少、内容多，教师的教课模式依然是采用传统的授课方式，教师向学生灌输书本上的公式和概念，学生被动地听课和接受。此教学模式严重地束缚了学生的创新思维，学生在没有独立思考的情况下，同样缺乏在生活中对所学知识的实际运用和操作，不利于应用创新型人才的培养。如今，互联网技术正在改变着学生的学习方式。翻转课堂作为一种全新的教学模式，给大学课堂带来了新声和活力，它不仅完全迎合了学生个性化的需求，也提升了学生的学习自主性。

近几年来，翻转课堂教学模式发展较快，理论研究有了初步成果，但实践研究比较少。本文结合学校实际，适时开展“工程数学”课程翻转课堂的实践教学，探究该教学法的可行性，旨在提升教学质量，培养学生的终生学习和创新的能力。

1 工程数学翻转课堂的意義

目前，我校工程数学课堂存在着课时少、内容多、学生参与度低、学生基础参差不齐导致两极分化等现象。将翻转课堂应用到工程数学，有以下几点优势：（1）让学生的学习不受时间、空间的限制，符合当代大学生个性化学习的需求。（2）教学视频以其便捷性、可重复性等特点满足了学生差异化学习的需要，很好地解决了我校部分专业文理兼招的现状。（3）增强了学生的自主能动性，培养了学生的自主学习能力和团队合作能力。（4）多元化的综合评价体系能鼓励学生积极参与教学的各个环节，加强了师生之间的沟通与交流。

2 工程数学翻转课堂的教学过程

2.1 课前准备

（1）项目组成员在超星学习通开设了可共享的工程数学（线性代数）和工程数学（概率论与数理统计）在线资源。每小节内容包括学习目标、教学课件、教学微视频、本节自测、知识拓展、讨论;章节后附有章节测试、Matlab程序、考研专辑。

（2）建立班级QQ群，便于线下交流、答疑解惑。告知学生本学期翻转课堂的学习活动设计为视频发放、课前网上自主学习、课堂讲授和讨论、课后练习和巩固、课外知识拓展等环节。

（3）此次试点班级为通信1901-02班，由学委征求个人意见后分为10组，每组设组长一名。

（4）结合专业的特点及本教学班学生的数学基础，合理地安排好适合翻转的内容，如二三阶行列式、矩阵的概念和运算、逆矩阵的计算、方阵的特征值和特征向量、二次型的概念和应用、古典概型、几何概型、期望和方差。

2.2 翻转课堂的教学设计及能力目标（见表1）

3 工程数学翻转课堂的教学实践与探索——以逆矩阵为例

3.1 教学内容及要求

教学内容：普通高等学校“十三五”规划教材、北京大学出版社、谭琼华主编的线性代数的第二章第三节《矩阵的逆》。

教学目标： 掌握矩阵的逆以及其存在的充要条件和计算方法。

教学重点：逆矩阵的概念和伴随矩阵的计算。

教学难点：求逆矩阵公式的推导。

3.2 发布任务

在学习通发布通知，要求学生完成的任务点2.3，主要是观看视频、完成微练习，并记录疑难问题。

3.3 翻轉课堂的教学实践

3.3.1 课前预习反馈

先由三组的同学代表将本节视频学习和微练习中记录的问题反馈给教师，从学生的反馈中发现难点为逆矩阵公式法的推导及伴随矩阵的求法。

3.3.2 课中知识内化

教师无须像传统教学法那样满堂灌，而是有针对性地给予学生答疑解惑。

本节重点在于伴随矩阵的计算，特别是每个元素的符号及在矩阵中的位置应重点强调，然后运用启发式教学引导学生从拉普拉斯定理的推论上推导出逆矩阵的公式，让学生真正明确伴随矩阵元素的行列标为何要互换及逆矩阵存在的充要条件。在学生理解的基础上，教师讲解典型例题，布置难度适宜的课堂练习，个别辅导。

接下来课堂的主要任务是知识迁移、理论联系实际、分组讨论，团结协作。结合专业特点，教师可以采用案例教学法引导学生深入学习逆矩阵在生活中的应用。如保密通信是目前非常重要的一门技术，许多科技工作者做了大量的工作，提出了许多有效的保密通信模型，其中基于加密技术的保密通信模型就是其中一种：发送方采用某种算法将明文数据通过密钥加密转换成密文数据发送给接受方，接收方则可以采用对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。一种加密技术是否有效，关键在于密文能否还原成明文。设为明文矩阵，为可逆矩阵（即加密密钥），为密文矩阵，若加密算法为，则解密算法为，这就是有效的加密方式。

依据上述应用背景，同学们分组讨论以下问题：芳芳的朋友给她发了一封密信，它是一个三阶方阵。约定1：密钥为，约定2：消息的每个英文字母用一个整数表示，数字1-26分别对应着26个英文字母，0表示“.”，试求芳芳的朋友发来的密码内容？

此问题一出就激发了同学们的学习热情，课堂上大家讨论得非常激烈。在明确了矩阵、、后，有些小组开始了明确的分工合作，他们将任务分为计算伴随矩阵、行列式、矩阵乘法、翻译明文等小模块。几分钟后，在组员的团结协作下得出了结论。然后分请两组代表上台讲解，正确组的答案为“I miss you.”，错误组的结论是连不成一句英文句子。在分析错误组的原因后发现错误的关键在于矩阵和混淆。最后由同学们归纳总结出密钥矩阵一定要是可逆矩阵，不然就不是有用的加密技术。

3.3.3 课后知识巩固

（1）要求学生完成课后练习及学习通2.10中的相关内容微测试。将疑难问题上传至QQ群，大家共同探讨，而后由教师在线答疑。

（2）查阅资料，了解逆矩阵的其他应用。

（3）思考：二阶及三阶方阵的逆可以用公式法求，若矩阵为三阶以上的矩阵还适合用公式法吗？还有没有其他方法求逆矩阵呢？

3.3.4 课外知识拓展

由于学生已经从理论上掌握了逆矩阵的相关知识点，所以课外可由学生自学2.11节逆矩阵的Matlab程序和相关命令，不仅能解决我校数学实验课程开设困难的问题，也能为学生参与数学建模打下了坚实的基础。考研专辑模块的要求是选学，很好地帮助想考研的同学及时掌握要点和考点。

3.3.5 综合考评

课前评价：教师通过学习通布置的任务点查看学生在线学习情况，及时了解学生存在的问题。

课中评价：利用发布的优质资源，结合传统的PPT+黑板的讲授方法，对学习重点和难点进行讲解，引导讨论争辩及课堂知识内化。在分组讨论、团结协作的过程中，由教师、学生及组长完成师评、自评和互评，及时地得到学生学习状态的反馈。

课后评价：教师以课后作业、章节微测试等形式考核学生，一方面辅助学生完成复习巩固，另一方面通过自动汇总的数据整体评估学生学习效果。

通过以上三种评价既可以形成多元化、开放式的综合评价体系，又可以由统计结果分析产生的原因，从而教师可以适时地调整教学安排，更好地推进课堂教学的改革。

4翻转课堂实践教学中应注意的问题

（1）翻转课堂不是完全否认传统的教学模式，而是要根据所授知识点的难易程度有机结合多种教学模式适时翻转。

（2）在翻转过程中，教师不应过多强调对错，应以鼓励为主。目的是让学生最大限度地参与课堂，开阔思维，提高创新能力。

（3）翻转课堂的教学模式不是一成不变的，应根据课程的特点及专业特色不断调整，在教学实践中不断完善。

5 结束语

工程数学翻转课堂是我校工程数学实践教学的一次新的尝试，在教学过程中，学生的自主学习能力和创新能力、课堂参与度都有所提升。在今后的教学中，应不断地解决遇到的问题和挑战、总结经验，更好地提高教学质量。

基金项目：湖南省2018年普通高校教学改革研究“基于翻转课堂的《工程数学》教学改革与实践”（AS1809）

参考文献

[1] 张金磊，王颖.翻转课堂教学模式研究[J].远程教育杂志，2012（4）：46-51.

[2] 张新明，何文涛.支持翻转课堂的网络教学系统模式研究[J].现代教育技术，2013（8）：21-25.

[3] 卜彩丽，马颖莹.翻转课堂教学模式在我国高等院校应用的可行性分析[J].软件导刊，2013（7）：9-11.

[4] 徐蓉.基于翻转课堂的工程数学教学研究——以湖南工学院为例[J].科技经济导刊，2020（11）：129，206.