张坦然

摘 要 微分中值定理是一元微分学中的重要学习内容。本文讨论微分中值定理的相关证明中，所需要的辅助函数的常用构造方法。

关键词 高等数学 微分中值定理 辅助函数

中图分类号：O172                                   文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2021.03.019

The Construction Method of Auxiliary Function in the Proof of

Differential Mean Value Theorem

ZHANG Tanran

（School of Mathematical Science， Soochow University， Suzhou， Jiangsu 215006）

Abstract Mean Value Theorem is an important learning object in the singular variable calculus. In this paper， we discuss the common constructing method of auxiliary functions during the proof of Mean Value Theorem.

Keywords advanced mathematics; differential mean value theorem; auxiliary function

1微分中值定理

（1）罗尔定理。若函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导且在区间两个端点处的函数值相等，即，则至少存在一点，使得。

（2）拉格朗日中值定理。若函数满足在闭区间上连续， 在开区间内可导，则至少存在一点，满足等式。

（3）柯西中值定理。若函数和均在上连续， 在（）内间可导; 且对任意有;则至少存在一点，使得。

2辅助函数的构造

2.1 积分因子法

积分因子法的原理， 是构造一个原函数，使其导函数中含有所要证明的结论中的式子。若需要证明的等式中含有中值，先移项，使要证等式的一边为0， 将含有的另一边记为。而的原函数有时不易找到，这时我们需要构造辅助函数，使得'（）的表达式中含有这一项， 这就是积分因子法。也就是说， 积分因子法的思想是， 等式=0的两边同乘一个函数， 使得刚好是某一个函数的导数。函数即为积分因子。这种方法一般适用于要证的结论中仅含有的情况。

例1 设在[0，1]上连续， 在上可导， 且。 求证： 至少存在一点， 使。

分析  希望证明的等式移项去分母后得。 将换成， 则需构造辅助函数， 使， 或者的表达式中含有这一项。这就想到积分因子选取为， 辅助函数为。

证明 令

因， 故在[0，1]上连续， 在（0，1）内可导， 且（0）=（1）。由罗尔定理知， 存在一点， 使 ，所以， 即。……