微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法

2021-05-27张坦然

科教导刊 2021年7期

关键词：高等数学

张坦然

摘要微分中值定理是一元微分学中的重要学习内容。本文讨论微分中值定理的相关证明中，所需要的辅助函数的常用构造方法。

关键词高等数学微分中值定理辅助函数

中图分类号：O172 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2021.03.019

The Construction Method of Auxiliary Function in the Proof of

Differential Mean Value Theorem

ZHANG Tanran

（School of Mathematical Science， Soochow University， Suzhou， Jiangsu 215006）

Abstract Mean Value Theorem is an important learning object in the singular variable calculus. In this paper， we discuss the common constructing method of auxiliary functions during the proof of Mean Value Theorem.

Keywords advanced mathematics; differential mean value theorem; auxiliary function

1微分中值定理

（1）罗尔定理。若函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导且在区间两个端点处的函数值相等，即，则至少存在一点，使得。

（2）拉格朗日中值定理。若函数满足在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点，满足等式。

（3）柯西中值定理。若函数和均在上连续，在（）内间可导; 且对任意有;则至少存在一点，使得。

2辅助函数的构造

2.1 积分因子法

积分因子法的原理，是构造一个原函数，使其导函数中含有所要证明的结论中的式子。若需要证明的等式中含有中值，先移项，使要证等式的一边为0，将含有的另一边记为。而的原函数有时不易找到，这时我们需要构造辅助函数，使得'（）的表达式中含有这一项，这就是积分因子法。也就是说，积分因子法的思想是，等式=0的两边同乘一个函数，使得刚好是某一个函数的导数。函数即为积分因子。这种方法一般适用于要证的结论中仅含有的情况。

例1 设在[0，1]上连续，在上可导，且。求证：至少存在一点，使。

分析希望证明的等式移项去分母后得。将换成，则需构造辅助函数，使，或者的表达式中含有这一项。这就想到积分因子选取为，辅助函数为。

证明令

因，故在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且（0）=（1）。由罗尔定理知，存在一点，使，所以，即。证毕。

例2 设在区间[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且。求证：至少存在一点，使。

分析要证的结论中仅含有，将写成后移项得，，左边的原函数不容易找到，故考虑使用积分因子法。注意到

则即为所需的积分因子。所以令，在区间[0，1]上连续，在（0，1）上可导，且，则由罗尔定理即可得证。证明略。

2.2 原函数法

原函数法，是需要构造的辅助函数刚好是某函数的原函数。这是一类比较基本的辅助函数构造方法，它可以看作是积分因子法的特例。在积分因子法中，移项之后我们需要构造辅助函数，使得要证等式的其中一边是'（）的一部分; 而有时的原函数容易找到，这时令为的一个原函数即可，这就是原函数法。这种方法一般适用于要证的等式中移项后一边的原函数容易找到的情况。

例3 设在区间上连续，在（0，b）上可导， =0。求证：至少存在一点，使。

证将要证明的结论中写成，则结论变为

显然上式左边有一个原函数为，记其为，故在[0，b]上连续，在（0，b）上可导，且。则由罗尔定理知，存在一点，使，即。证毕。

注例3的结论中能够分离出两个不同函数，故還有以下使用柯西中值定理的方法。

证明将要证明的结论写为

由柯西中值定理即得证。证毕。

2.3 值法

值法，适用于要证的结论中含有某点的函数值的情况，这里属于所考虑的闭区间。值法首先在待证等式中分离出只含有的常数，整理得到一个含有的等式且其一边为0;然后在这个等式中不为0的一边将换成，从而得到需要的辅助函数。值法是一种比较灵活的构造方法，很多带有高阶导数的问题可以使用它来证明。上面的例3即有如下证法。

例3的证明将要证明的结论写为

将不含的那一边记作常数，

即。把换成，令

，其中，

则有。故由罗尔定理知，存在一点，使，即。证毕。

例4 设，在[a，b]上存在三阶导数。求证：存在，使

分析将要证的式子移项，注意到

，有

记上式右边为，则由值法知道辅助函数的形式可构造为的低次项。结论中出现了三阶导数，考虑使用三次罗尔定理，因此需要，即得的形式。

证明令

，

其中。则在上存在三阶导数，且。由罗尔定理知，分别存在，，使得，。又因为，由罗尔定理知，分别存在，，使得，。再由罗尔定理知，存在，使得，即，整理即得所要证的结论。证毕。