郑良

摘 要：给出三道平面向量试题一题多解，示范探寻解题的切入点，给出解法的合理性分析，比较解法的差异.

关键词：平面向量;一题多解;数形结合;理性思维

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0038-03

解题时，若审题不够深入，只看到问题的表面现象，就会出现用运算代替思维（低效）甚至问题不可解（无效）的情况.这就提示我们要积累必要的知识、思想、方法（模型），通过审题，将摄入的信息经过梳理、比对、分解、调整、加工、整合的过程，思维贯通后以合理的形式输出.

平面向量是高中数学的重要内容，也是高考的热点之一.平面向量兼顾“数”与“形”的两重性，形成了其独特的知识体系与思想方法体系.平面向量往往与三角、解析几何、函数、不等式等知识交汇，从而呈现出表示方法多、联系知识广、解题思路灵活等特征.学生在解题时常常会遭遇困惑：是从形的角度还是从数的角度入手较好？ 如何找到比较简捷的方法等等.本文通过对三道平面向量试题的一题多解，示范探寻解题的切入点，给出解法的合理性分析，比较解法的差异，期待能对大家的解题分析能力的提高及理性思维的提升有所帮助.为节省篇幅，本文以解答和点评的形式给出.

例1 已知平面向量a=1，2，b=4，2，c=ma+b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m=.

解法1 由题意，得c=m+4，2m+2，a=5，b=25.

设c与a的夹角为α，c与b的夹角为β，那么有cosα=c·aca，cosβ=c·bcb.

由题意c·aca=c·bc·b，

得c·aa=c·bb，即5m+85=8m+2025.

解得m=2.

解法2 由题意，得a=5，b=25，因为c与a的夹角等于c与b的夹角，所

以c=ma+b=λaa+bb=5λa5+5λb10.由平面向量基本定理，可得m=5λ5，5λ10=1，得λ=25，m=2.

解法3如圖……