沈海全

摘 要：从教材习题入手不断进行变式拓展，挖掘向量语言中所蕴含的几何性质，揭示问题本质.

关键词：平面向量;变式拓展;数学美

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0011-02

平面向量是高中数学中重要和基本的概念之一， 也是浙江高考的亮点和难点内容. 它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，常用平面向量解决一些比较复杂的几何问题，即几何问题代数化.而在高考中某些向量问题常具有丰富的几何背景和几何性质，反而需要把向量问题转化为几何问题，借助几何方法来更好地解决，那就需要我们用敏锐的眼光识别向量语言中所蕴含的几何性质，这也是解决此类问题的难点.本文从课本习题出发通过一系列的拓展变式将一些具有明显几何意义的向量问题进行归纳总结，揭示问题的本质，供老师同学参考学习.

一、在教材中寻根人教版必修四课本P120 第2，3题.

1.已知向量a，b为非零向量，且a+b=a-b，求证：a⊥b，并解释几何意义.

解 如图1，设OA=a，OB=b，则由向量运算法则可得平行四边形的对角线OC=a+b，BA=a-b，又a+b=a-b，由平面几何知识知对角线相等的平行四边形为矩形，即a⊥b.

2.已知向量a，b为非零向量， 且a+b⊥a-b，求证：a=b，并解释几何意义.

解 如图2，设OA=a，OB=b，则由向量运算法则可得OC=a+b，BA=a-b，由平面几何知识知对角线互相垂直的平行四边形为菱形，即a=b.

下面再看两个小问题.

3.已知向量a，b满足a=2，b·a-b=0，你能解释其中蕴含的几何意义吗？

解 如图3，设OA=a， OB=b，则BA=a-b.因b⊥（a-b）， 即点B在以线段OA为直径的圆周上. 即直径所对的圆周角为90°.