李建波

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（2020）14-092-01

解析几何的本质就是用代数方法去研究几何图形问题，很多学生在遇到解析几何问题时，往往想通过“纯”代数运算来解决问题，导致计算量非常大，即使能算出来也会花费大量的时间，更多的无法计算出最后的結果。

例1：（2016年全国Ⅲ第16题）已知点M（-1，1）和抛物线C：y2=4x，过C焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若∠AMB-90°，则求k的值。

这只是一道小题，很显然这样不考虑题中几何特征的“纯”代数解法计算量很大，而且会花费大量时间。倘若能挖掘出点M落在抛物线的准线上，利用抛物线何性质以及圆的几何性质会大大减少计量。

解法二：作出抛物线准线x=-l，过A、B分别做准线的垂线，交于点A¹、B¹，过M点作平行x轴的线交AB于点M¹，∴AA¹∥MM¹∥BB¹∵∠AMB=90°∴以AB为直径的圆经过点M又∵由抛物线直线可得：AB=AF+BF=AA¹+BB¹

很容易知道MM¹为直角梯形AA¹B¹B的中位线。

从这道高考解析几何题的两种解法中，很显然挖掘过题中几何特征的解法二计算更简单。那一般解析几何的几何特征一般可以从点、直线方程、曲线返程、图形的位置关系等方面去挖掘，一般来说，挖掘出越多的几何特征，解答过程就会越简单。我们再看看下面这两道高考题，体会体会其中的奥妙。

我国著名数学家华罗庚曾经说过“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离万事休”。利用几何特征解决几何问题凸显出数学学科素养，是学生学习数学核心素养的有效载体之一。