王户世

题目（2014年四川理第20题）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴两个端点与长轴一个端点构成正三角形.

（Ⅰ）求椭圆C的方程.

（Ⅱ）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任一点，过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点.

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）.

（ⅱ）当TFPQ最小时，求T点坐标.

答案如下（过程略）：（Ⅰ）x26+y22=1；（Ⅱ）.（ⅰ）略；（ⅱ）TFPQ取最小值33时，点T（-3，±1）.

分析本题第（Ⅱ）问是针对椭圆x26+y22=1，（ⅰ）证明：OT平分PQ；（ⅱ）当TFPQ取最小值33时，求出T（-3，±1），透过现象看本质，我们可否把这个椭圆推广，使本题的条件仅作为一种特殊情况？一番研究，得到如下收获：

图1

定理1椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点.

（ⅰ）证明：OT平分线段PQ（其中O是坐标原点）.

（ⅱ）当c2>b2时，TFPQ有最小值ba，这时

T（a2c，±bcc2-b2）.

证明不妨取椭圆右焦点F（c，0）和右准线x=a2c（左焦点和左准线时同理可证明）.

（ⅰ）设T（a2c，m），则kTF=cmb2，当m=0时，T为椭圆右准线与x轴的交点，这时PQ为椭圆的通径，OT显然平分PQ.当m≠0时，由条件知kPQ=-b2cm，所以直线PQ方程为：y=-b2cm（x-c），记P（x1，y1），Q（x2，y2），联立x2a2+y2b2=1，

y=-b2cm（x-c），

得（c2m2+a2b2）x2-2a2b2cx+c2a2（b2-m2）=0，

因为Δ=4a4b4c2-4a2c2（c2m2+a2b2）（b2-m2）=4a2c2m2（c2m2+b4）>0，

所以x1+x2=2a2b2cc2m2+a2b2，

x1x2=c2a2（b2-m2）c2m2+a2b2.（*）

y1+y2=-b2cm（x1+x2-2c）=2b2c2mc2m2+a2b2，

知PQ中点N（a2b2cc2m2+a2b2，b2c2mc2m2+a2b2），则kON=cma2，又kOT=cma2，知O，T，N三点共线，即OT过线段PQ的中点N，所以OT平分PQ.

（ⅱ）因为TF=a2c-c=b4+m2c2c，PQ=1+k2PQ（x1+x2）2-4x1x2

把kPQ=-b2cm及（*）式代入得：PQ=1+-b2cm22a2b2cc2m2+a2b2c2a2（b2-m2）c2m2+a2b2

=2a（b4+c2m2）c2m2+a2b2，所以TFPQ=c2m2+a2b22acb4+c2m2=

12ac（c2m2+b4）+b4c4c2m2+b4+2b2c2≥ba，即TFPQ≥ba，当且仅当c2m2+b4=b2c2

m2=b2c2（c2-b2）时取等号，因为已知条件有c2>b2，所以当m=±bcc2-b2时，TFPQmin=ba，这时Ta2c，±bcc2-b2.

反过来看四川高考20题第（Ⅱ）问，相当于定理1中a2=6，b2=2，F为左焦点，T为左准线x=-a2c=-3上一点，由定理1知（ⅰ）OT平分PQ.（ⅱ）因为c2=4知c2>b2成立，知TFPQ有最小值ba=33，这时T-a2c，±bcc2-b2，即T（-3，±1）.

图2

推论1椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上任一点（焦点和准线在y轴同侧），过F作TF的垂线交椭圆于P，Q两点，P关于坐标原点O的对称点为P′，则P′Q∥OT.

证明由定理1知OT平分线段PQ，即OT过线段PQ的中点N，又O是PP′的中点，所以ON是△PP′Q的中

位线，则P′Q∥ON，即P′Q∥OT.

定理2椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦点为F，T为椭圆准线上（但非x……