白瑞蒲 李晓娟

摘要：定义了一类新的3元代数结构——3-李-Rinehart代数，并对3-李-Rinehart代数的基本结构进行了研究，用3元任意次可微函数、已知的3-李代数的模及3-李代数的内导子李代数分别构造了3-李- Rinehart代数及李-Rinehart代数.

关键词：3-李代数;交换结合代数;3-李-Rinehart代数

中图分类号：O152.5文献标志码：ADOI：10.3969/j.issn.l000-5641.2021.06.002

The structure of 3-Lie-Rinehart algebras

BAI Ruipu1，2，LI Xiaojuan1，2

（1. College of Mathematics and Information Science，Hebei University，Baoding Hebei 071002. China;

2. Key Laboratory of Machine Learning and Computational Intelligence of Hebei Province）Baoding Hebei 071002，China）

Abstract：In this paper，we introduce a class of 3-ary algebras，called the 3-Lie-Rinehart algebra，and we discuss the basic structure thereof. The 3-Lie-Rinehart algebras are constructed using 3-ary differentiable functions，modules of known 3-Lie algebras，and inner derivatives of 3-Lie algebras.

Keywords：3-Lie algebra;commutative associative algebra;3-Lie-Rinehart algebra

0引言

1953年，Herz在文献[1]中提到了一类二元代数，且Palais和Rinehart在文献[2-3]中对这类代数的结构做了进一步研究.1997年，Huebschmann将这类代数定义为李-Rinehart代数[4]，并对李- Rinehart代数在李代数胚上的作用进行「研究[5-7].2016年，Mandal等定义了Hom-李-Rinehart代数[8]，并研究了Hom-李-Rinehart代数的低维扩张问题.2018年，Castiglioni等在文献[9]中研究了李- Rinehart代数的泛中心扩张，并将非交换张量积与泛中心扩张紧密结合起来.

3-李代数的研究受到人们的广泛关注.3-李代数在几何、物理等方面都发挥了重要作用. Yang- Baxter方程的解与局部上循环3-李双代数、Pre-3-李代数、3-李代数的Rota-Baxter算子存在密切关系[10-12].著名的Bagger-Lambert-Gustavsson代数模型就是基于实数域上3-李代数的结构，3-李代数在膜和弦理论中被广泛应用[13-15].本文要将交换结合代数结构、3-李代数结构、3-李代数的模结构以及交换代数的模结构结合在一起，并利用交换结合代数的导子给出模之间的相容性条件，定义一类新的3元代数结构——3-李-Rinehart代数，并对3-李-Rinehart代数的基本结构进行研究.利用实数域上3元任意次可微函数空间及已知的3-李代数的内导子李代数分别构造3-李-Rinehart代数及李- Rinehart代数.

除非特别声明，文章所讨论的代数和向量空间的基域F的特征为零，用A表示F上的交换结合代数，V表示F上的向量空间，对，记<S>为S在V中张成的子空间，R是实数域.

13-李-Rinehart代数的基本结构

3-李代数[16]L是具有线性运算[，，]：L→L的向量空间，满足：∀x，x，x，y，y∈L，

[[x，x，x]，y，y]=[[x，y，y]，x，x]+[[x，y，y]，x，x]+[[x，y，y]，x，x].（1）

設L是F上的3-李代数，如果F-线性映射D：L→L满足：∀x，y，z∈L，

D[x，y，z]=[Dx，y，z]+[x，Dy，z]+[x，y，Dz]，

则称D是L的导子[16]，L的导子全体记为Der（L）.

由式（1），对于x，y∈L，左乘映射adx，y：L→L，adx，y（z）=[x，y，z]，及其线性组合是导子[16]，称为内导子，且满足：∀x，x，y，y∈L，.内导子李代数记为ad（L）.

如果F-线性映射满足：∀xi∈L，1≤i≤4，

[ρ（x，x），ρ（x，x）]=ρ（[x，x，x]，x）-ρ（[x，x，x]，x），（2）

ρ（[x，x，x]，x）=ρ（x，x）ρ（x，x）+ρ（x，x）ρ（x，x）+ρ（x，x）ρ（x，x），（3）

則称（V，ρ）是3-李代数L的表示，简称（V，ρ）为L-模[17].子空间称作ρ的核.

由式（1）可知，（L，ad）是3-李代数L的表示，称作3-李代数L的正则表示，其中，ad（x，y）=adx，y，且是3-李代数L的中心.

设G是F上的李代数，A是交换结合代数，（A，ρ）是满足的G一模，G是4一模，且满足[x，az]=a[x，z]+（ρ（x）a）z，ρ（ax）=aρ（x），∀x，z∈G，a∈A，则称（G，ρ）为李-Rinehart 代数[18].若ρ=0，则G叫作李A-代数.

定义1设A是交换结合代数，3-李代数L是A-模，（A，ρ）是满足的L-模，如果

[x，y，az]=a[x，y，z]+（ρ（x，y）a）z，∀x，y，z∈L，a∈A，（4）

则称（L，A，ρ）为弱3-李-Rinehart代数.进一步规定：

1）若ρ是A-模同态，则称（L，A，ρ）为3-李-Rinehart代数，即

ρ（ax，y）=ρ（x，ay）=aρ（x，y），∀x，y∈L，a∈A.（5）

2）若ρ=0，则称（L，A）为3-李A-代数.

由定义1可得，如果S是3-李代数L的子代数，并且对∀a∈A，x∈S，有ax∈S，则是3-李-Rinehart代数，称为3-李-Rinehart代数（L，，A，ρ）的子代数.

如果I是3-李代数L的理想，并且对∀a∈A，x∈I满足ax∈I，则称为3-李-Rinehart代数（L，A，ρ）的次理想.进一步，若ρ（I，L）=0，则（I，A）是3-李A-代数，称为3-李- Rinehart代数的理想.

对于3-李-Rinehart代数（L，A，ρ），记

，，

分别为A关于L的零化子和L关于ρ的中心.由式（4）可得，Zρ（L）为（L，A，ρ）的理想.

定理1设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，则rya，b∈A，xW £J W」W 5 ，下列等式成立：

证明应用式（1）-式⑸进行计算可得结论，过程省略.证毕.

定理2设I和K是3-李-Rinehart代数（L，A，ρ）的理想，则有

1）是3-李-Rinehart代数，其中，

2）I+K和I∩K是（L，A，ρ）的理想.

3）Z（L）是3-李-Rinehart代数（L，A，ρ）的理想，并且Z（A）是A的理想.

证明结论2）和结论3）可由定义直接推得.因为ρ（I，L）=0，所以，按上述定义的有意义，且∀x∈L，1≤i≤4，b∈A，有

因此，是3-李-Rinehart代数，得到结论1）.证毕.

定义2设（L，A，ρ）和（L′，A，ρ′）是3-李-Rinehart代数，f：L→L′是3-李代数同态.如果f满足：

f（ax）=af（x），ρ′（f（x），f（y））=ρ（x，y），∀a∈A、x，y∈L，（10）

则称f为3-李-Rinehart代数同态.进一步地，如果f是双射，则称f是同构映射;如果f是满射，并且，则称f为中心满同态.

定理3设（L，A，ρ）和（L′，A，ρ′）是3-李-Rinehart代数，f：L→L′是3-李-Rinehart代数同态.则下列结论成立：

1）是3-李-Rinehart代数（L，A，ρ）的理想.

2）是（L′，A，ρ′）的子代数，且同构于商代数.

3）（L，A，ρ）中包含Ker（f）的子代数与的子代数一一对应，且理想对应着理想.

证明直接应用定义1和定义2可得结论.证毕.

23-李-Rinehart代数的构造

定理4设是实数域上的3元任意次可微函数构成的向量空间，A=L（作为向量空间）按照函数的通常乘法构成的交换结合代数，并且对∀f（x，y，z），g（x，y，z），h（x，y，z）∈L，a（x，y，x）∈A，有，，

则（L，A，ρ）是弱3-李-Rinehart代数，但不是3-李-Rinehart代数.

证明由文献[10]可知L按照式（11）定义的运算构成3-李代数，且是A-模.对∀f，g，h，d∈L，a，b∈A，有，ρ（f，g）（ab）=aρ（f，g）（b）+bρ（f，g）（a），所以ρ（f，g）∈Der（A），

所以（A，ρ）是3-李代数L-模，且（L，A，ρ）是弱3-李-Rinehart代数.

因为对s=x∈A，f=x，g=y，h∈L，有，得（L，A，ρ）不是3-李-Rinehart代数.证毕.

定理5设是实数域上的交换结合代数，

则T按照式（11）定义的运算构成3-李代数，且（T，B，ρ）是3-李-Rinehart代数.

证明进行简单计算可知，T是定理4中3-李代数的子代数，B是交换结合代数A的子代数，由定义1可知，（T，B，ρ）是弱3-李-Rinehart代数.再由式（11）直接计算可知，对∀u，v∈T，a，b∈B，有ρ（au，v）（b）=ρ（u，av）（b）=aρ（u，v）（b），因此，ρ是A-模同态.所以，（T，B，ρ）是3- 李-Rinehart代数.证毕.

下面从已知的3-李-Rinehart代数（L，A，ρ）出发来构造新的3-李-Rinehart代数.

定理6设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，，则（M，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，其中∀x，x，x∈L，a，a，a，

证明由式（6）—式⑼可知，M按照式（13）定义的运算构成3-李代数，且M按照A的自然作用是是-模.由式（2）、式（3）和式（13），∀x∈L，a，b∈A，1≤i≤4，有

所以，（A，ρ）是3-李代数M-模.由式（12）和式（14），得到

因此，（M，A，ρ）是3-李-Rinehart代数.证毕.

定理7设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，.则E按式（15）构成A-模，且是3-李-Rinehart代数，其中∀a，b，c∈A，x，y，z∈L，，

证明由式（15）可知E是A-模，且由式（16）定义的3元线性乘法是斜对称的.再由式（8）得到

所以，式（1）成立.因此，E是3-李代数.

由式（17）可得，.对∀x∈L，a∈A，1≤i≤4，有

得到式（2）成立，且是E-模.再由式（16）可得

所以式（4）成立.再由式（17）可知式（5）成立，因而是3-李-Rinehart代数.证毕.

设L是3-李代数，线性空间L∧L上的运算[x∧y，u∧v]=[x，y，z]∧v+u∧[x，y，z]不具有反对称性，因此，L∧L按照上述运算不构成李代数.为此，令J是由张成的L∧L的子空间.在商空间中定义

由式（1）可知，由式（18）规定的运算满足李代数的Jacobi等式.再由式（1），∀x，y，u，v，z∈L，有

得到.所以，（（L∧L）/J，[，]）构成李代数.

设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数.∀x，y∈L，若[x，y，L]=0，则由式（4），∀a∈A，z∈L，有（ρ（x，y）a）z=[x，y，az]-a[x，y，z]=0.得到ρ（x，y）（A）L=0.因此，可定义线性映射

直接计算可知，（A，ρ）是李代数（L∧L）/J-模.

為方便起见，在下面的讨论中，将李代数（（L∧L）/J，[，]）简记为L∧L，并且∀x，y∈L，简记为x∧y，式（18）可简写为

定理8 &nbsp;  设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，则（L∧L，ρ）是李-Rinehart代数，其中

证明根据定义1，式（19）和式（20），∀b，b′∈A，x，y，z∈L，有

因此，L∧L是A-模.根据式（21），∀x，x，y，y∈L，b∈A，有

并且ρ（b·（x∧y））=b·ρ（x∧y）.因此，（A，ρ）是李代数L∧L-模.由式（4）、式（19）和式（20），∀x，x，y，y∈L，b∈A，有

因此，（L∧L，ρ）是李-Rinehart代数.证毕.

设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，（R，A）是3-李A-代数，且由定理8可得，（L∧L，ρ）是李-Rinehart代数.定义的子空间W（L，R，A）如下：

定理9设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，（R，A）是3-李A-代数，则（W（L，R，A），ρ）是李- Rinehart代数，其运算定义为

其中，.

证明由式（20）和式（22）可知，W（L，R，A）按式（23）定义的运算构成A-模.

根据定理8，W（L，R，A）按运算（25）构成李代数.由式（24），，有

所以（A，ρ）是李代数W（L，R，A）-模，并且.又由式（22）和式（25），∀b∈A，.因此，（W（L，R，A），ρ）是李-Rinehart代数.证毕.

33-李-Rinehart代数在3-李A-代数上的作用

定义3设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，（R，A）是3-李A-代数，β：L∧L→Der（R）是-线性映射.如果β和R满足：

（1）（R，β）是3-李代数L-模;

（2）β（ax，y）=β（x，ay）=aβ（x，y），∀a∈A，x，y∈L;

（3）β（x，y）（ar）=aβ（x，y）r+ρ（x，y）（a）r，∀a∈A，r∈R，x，y∈L.

则称β是（L，A，ρ）在（R，A）上的作用.进一步地，如果R是Abel的，即[R，R，R]=0，则称（R，β）是3-李- Rinehart代数（L，A，ρ）-模.

定义4设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，（R，A）和（R，A）是Abel 3-李A-代数，并且（R，β），（R，β）是（L，A，ρ）-模.若A-模同态f：R→R满足：

则称f是从（R，β）到（R，β）的3-李-Rinehart模同态.

定理10设（L，A，ρ）和（L′，A，ρ′）是3-李-Rinehart代数，（R，A）是Abel 3-李A-代数，（R，β）是（L，A，ρ）-模.如果f：L′→L是3-李-Rinehart同态，则（R，β′）是（L′，A，ρ′）-模，通常称（R，β′）为由f诱导的（L′，A，ρ′）-模，其中

证明因为（R，β）是（L，A，ρ）-模，由式（2）和式（3），，有

因此，（R，β′）是3-李代数L′-模.因为f是3-李-Rinehart代数同态，由式（10）和式（25），∀x′，y′∈L′，a∈A，r∈R，得到，，，，..因此，（R，β′）是（L′，A，ρ′）模.证毕.

定理11设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，（R，A）是Abel 3-李A-代数，（R，β）是3-李代数L-模，则（R，β）是（L，A，ρ）-模当且仅当是3-李-Rinehart代数，其3-李代数的运算为

其中x，x，x∈L，r，r，r∈R.

证明设（R，β）是（L，A，ρ）模，因为L和R是A-模，所以也是A-模，并且a（x+r）=ax+ar，∀a∈A，x∈L，r∈R.由式（27）和式（28）可知，是3-李代数，（A，ρ）是3-李代数模，且∀x∈L，r∈R，a∈A，i=1，2，3，有

因此，是3-李-Rinehart代数.

反之，由式（27），∀a∈A，x，x∈L，r，r，r，r∈R，有

所以，并且β滿足定义3.证毕.

推论1设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，（R，β）是（L，A，ρ）-模，则-线性映射和是3-李-Rinehart代数同态，其中π（x+r）=x，i（r）=r，∀x∈L，r∈R.

证明根据定理11可以知道，π和i是A-模同态，且∀x∈L，r∈R，有π[x+r，x +r，x+r]=[π（x+r），π（x+r），π（x+r）]，所以π是3-李代数同态.由式（28）可知，ρ（x+r，x+r）=ρ（x，x）=ρ（π（x+r），π（x+r））.因此，π是3-李-Rinehart代数同态.同理，i也是3-李-Rinehart代数同态.证毕.

注1设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，R=L（作为Abel 3-李A-代数），则L的正则表示（R，ad）可能不是（L，A，ρ）-模.但是，如果ρ=0，很显然（R，ad）是（L，A，0）-模.事实上，∀x，y∈L，z∈R=L，b∈A，adz=[bx，y，z]=b·adz+（ρ（y，z）b）x≠b·adz.因此，（R，ad）满足定义3当且仅当ρ=0.

推论2设（L，A，ρ）是3-李-Rinehart代数，（R，A）是3-李A-代数，f：L→R是3-李A-代数同态，即f是3-李代数同态，并且满足f（ax）=af（x），∀a∈A，x∈L，则f诱导了（L，A，ρ）在（R，A）上的作用β，其中，

β（x，y）r=[f（x），f（y），r]，∀x，y∈L，r∈R.（29）

证明由式（29），∀x，y∈L，r，r∈R，有

因此，.因为f是3-李A-代数同态，所以

于是，（R，β）是3-李代数L-模，且β（ax，y）r=[f（ax），f（y），r]=a[f（x），f（y），r]=a（β（x，y）r）=β（x，ay）r.

证得β是（L，A，ρ）在（R，A）上的作用.证毕.

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（責任编辑：林磊）