丁梦菲 侯冬平 李黎明

摘 要：RotaBaxter算子的产生源于对某一类分析和组合问题的研究，后来被广泛用于数学和数学物理的许多领域。本文对一类四维复的幂零左对称代数上的RotaBaxter算子进行了研究，给出了这类代数上的所有权为零的RotaBaxter算子，并以这些算子为基础构造出一系列的左对称代数结构。

关键词：RotaBaxter算子;左对称代数;李代数

中图分类号：0152  文献标识码：A

RotaBaxter Operators on a Four Dimensional Leftsymmetric Algebra

Ding Mengfei Hou Dongping Li Liming

College of Mathematics Yunnan Normal University YunnanKunming 650500

Abstract：RotaBaxter algebras were introduced to solve some analytic and combinatorial problems and have appeared in many fields in mathematics and mathematical physics.In this paper，we give all RotaBaxter operators of weight zero on a four dimensional leftsymmetric algebra.Moreover，interesting leftsymmetric algebra series are obtained from the RotaBaxter operators.

Keywords：RotaBaxter operators;Leftsymmetric algebras;Lie algebras

1 緒论

RotaBaxter算子最早是由G.Baxter在解决一个分析问题的过程中提出来的[1]。此后，很快被应用到其他数学领域，如组合数学[23]，标准shuffle关系的一种推广[4]。在最初的一段时间里，人们主要研究结合代数上的RotaBaxter算子，即RotaBaxter代数。随着研究的深入，RotaBaxter算子很快被推广到其他代数体系上，如李代数，左对称代数[5]。李代数上的权为0的RotaBaxter算子恰好给出经典YangBaxter方程的变形的算子形式[5]。

左对称代数（也称为预李代数），是一类非常重要的非结合代数。左对称代数与很多数学学科和数学物理的许多领域都有密切的关系，如仿射流形[6]、李群上的仿射结构[7]、李代数[8]、经典和量子的YangBaxter方程[910]、量子场论[11]等。文献[12]中，给出所有复数域上的2维左对称代数和部分3维的左对称代数上的权为0的RotaBaxter算子。然而，对于更高维数的左对称代数上的RotaBaxter算子，还知之甚少。

在文献[13]中，给出了四维伪黎曼左对称代数的分类，本文其中一类4维非对称无平移的幂零左对称代数A0，设e1，e2，e3，e4为它的一组基，则：

A0=0000000000000e10-e3

其中矩阵的i，j元为ei与ej的乘积。

本篇论文中，我们主要给出四维复左对称代数A0上的所有权为0的RotaBaxter算子。并且以这些得到的RotaBaxter算子为基础，构造出一系列左对称代数结构。

2 基本概念

定义2.1 设g是数域F上的一个线性空间，在g中定义双线性乘法：（x，y）→[x，y]，满足等式：

[x，y]=-[y，x]（2.1）

[[x，y]，z]+[[y，z]，x]+[[z，x]，y]=0（2.2）

其中x，y，z∈g，则称g是一个李代数。

定义2.2 设A是数域F上的一个线性空间，在A中定义双线性乘法：

（x，y）→x·y

满足等式：

（x，y，z）=（y，x，z），x，y，z∈A（2.3）

其中（x，y，z）=（x·y）·z-x·（y·z），也称为结合子，则称A是一个左对称代数或预李代数。此时，定义李括号：

[x，y]=xy-yx，x，y∈A（2.4）