王东波

摘  要：“合情推理”是小学数学教学的重要组成部分。在数学教学中，教师要构筑合情推理空间，引导学生经历合情推理过程并进行合情推理反思。在合情推理过程中，教师要引导学生主动观察、实验、实践，从而唤醒学生合情推理需求。在合情推理过程中，不仅能形成学生合情推理技能，而且能让学生感悟合情推理思想，提升学生合情推理能力，促进学生数学素养的提升。

关键词：小学数学;合情推理;感性思维

美国数学教育家波利亚曾经这样说：“数学既要教证明，又要教猜想。”学生的数学学习，不仅仅依靠严密的数学推理，还依靠富有预见性、合情性的推理。所谓“合情推理”，是指“学生从已有事实出发，凭借经验、直觉等，通过归纳、类比等思维方式而猜测、推断的过程”。合情推理包括类比推理、归纳推理等。在数学教学中，教师要引导学生主动观察、实验、实践，从而唤醒学生合情推理需求，引导学生进行合情推理，赋予学生“感性思维”自然生长的力量。

一、构筑合情推理空间，激发学生合情推理需求

东北师范大学史宁中校长曾经将数学基本思想概括为三点：抽象、推理和模型。合情推理是一种或然性推理，是一种“合乎情理的推理”，是一种“好像是真的推理”，是一种“合理的猜测”。正因如此，“合情推理”又被称为“似真推理”。一定的情境、一定的形式内容等均是合情推理的助推剂。教学中，教师要赋予学生合情推理的素材，构造学生合情推理的时空，激发学生合情推理的需求，让学生自觉地进行合情推理。合情推理不同于演绎推理，其间可能会发现合情推理的“无理性”，因而容易遭遇失败、挫折。但正因为如此，合情推理常常能拓宽学生思路，发散学生思维。在合情推理中，学生能主动提出问题、分析问题，能主动审视解决问题的思路、策略，能自觉地改变推理路向、方式等。

在数学教学中，教师要创设合情推理的需求、机会，选择一些典型的、可以进行合情推理的素材，从而营建一定的合情推理思维时空。为了延展学生的思维，合情推理的时空要具有一定的开放性。只有这样，才能将学生的猜想、认知冲突等放置于风口浪尖之上。比如教学《三角形的内角和》（苏教版四年级下册），笔者出示了各种各样的三角形，包括直角三角形（三角板）、锐角三角形（流动红旗）、钝角三角形（红领巾）等。学生从已有知识经验——“三角板”出发，合情猜想“锐角三角形的内角和是180度”“钝角三角形的内角和是180°”。这样的一种合情猜想，并不是空穴来风，而是基于“直角三角形的内角和”的合理推断。有了这样的合情推理，学生就会运用各种方法进行论证，如测量法、撕角拼角法等。在数学教学中，教师可以通过选择一些合情推理的典型材料，创设合情推理的机会，促发学生进行合情推理。基于典型材料的合情推理，还能启发学生运用一定的方法进行验证。

波利亚认为：“说得直截了当一点，合情推理就是猜想。”因而对于合情推理，教师要容忍“不严格的清楚”，允许学生“大胆地猜测”，引导学生“小心地求证”（胡适语）。要构筑学生合情推理的空间，让学生处于合情推理的理想的心理状态。作为教师，要在学生已知和未知之间找寻“衔接点”。只有找寻到衔接点，激起学生合情推理的心向，导引学生合情推理的方向，才能赋予学生合情推理的感性思维力量。

二、经历合情推理过程，培育学生合情推理能力

学生的合情推理既存在着共性的年龄、心理特征，又有着共性的差异。教师在教学中要引导学生经历合情推理过程。不仅要引导学生经历合情推理过程，而且要引导学生反思推理过程。弗赖登塔尔深刻地指出：“将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立这一基础之上的教学方法，我称之为再创造方法。”合情推理也必须引导学生经历再创造，这是数学教学的最基本的原则。

引导学生经历合情推理过程，既可以让学生进行不完全归纳，也可以让学生进行类比。所谓“不完全归纳”，就是从“特殊”到“一般”的整体;所谓“类比”，就是从“特殊”到“特殊”的推理。归纳，既可以依据形式归纳，也可以依据内容归纳。同样，类比既可以依据形式进行类比，也可以依据内容进行类比，还可以依据方法进行类比。比如学习《比的基本性质》（苏教版六年级上册）时，有学生根据分数、除法与比的内在关联（包括形式关联、内容关联等）进行合情推理，即“比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变”;有学生根据自己的举例进行不完全归纳等。在学生提出合情推理之后，教师要引导学生进行论证，或者引导学生比较，或者引导学生进行知识迁移，或者引导学生进行适度抽象等。如在《圆柱的体积》（苏教版六年级下册）教学中，学生根据长方体、正方体等直柱体的体积公式，类比推理出“圆柱的体积等于圆柱的底面积乘高”。在圆柱体积的论证过程中，学生又根据圆的面积的推导过程，类比联想出将一个圆柱平均分成若干个类似的“小楔子”，然后将这些“小楔子”正反相拼，就能拼成一个近似的长方体。当对一个圆柱平均分的“小楔子”越多，就越接近长方体。经过这样的合情推理，学生深刻感受、体验到圆柱体体积公式的推导过程与圆的面积推导过程的相似性，化曲为直、无限分割的数学思想方法再一次得到巩固、提升。经历了这样的过程，学生不仅理解了数学知识，更掌握了数学合情推理的论证、求证方法。

在合情推理的过程中，重要的是让学生“明理”。只有让学生体悟到“理”，认同了“理”，从整体上把握了“理”，学生的推理才算真正地落地生根。数学合情推理的方法是在合情推理实践过程中形成的。正如弗赖登塔尔所说：“只有在游泳的过程中才能学会游泳。”作为教师，要了解学生的数学学习现实，因为只有了解了学生的数学学习现实，才能更好地引导学生进行合情推理。

三、引导合情推理反思，生成学生合情推理素养

弗赖登塔尔说：“反思是数学的重要活动，它是数学活动的核心和动力。”“通过重新考虑、重新检查这个结果和得出这个结果的路子，可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力。”反思，不仅仅指向过去，更指向未来。在合情推理的过程中，学生对某一方面的问题可能还比较模糊，或者模棱两可，但通过反思，学生能逐步从模糊走向清晰，从感性走向理性。换言之，反思，是提升学生感性思维的重要路径。

在合情推理得到结果之后，教师一定要引导学生反思：是什么引发了自己做出这样的推理？是不是考虑了所有的要素？还可以进行怎样的推理？……通过反思，学生可以由此及彼、由表及里、去伪存真，从而探寻到本质性的东西。比如教学《最大公因数和最小公倍数》（苏教版五年级下册），学生在做习题的过程中会遇到一些特殊值，如5和6这样的互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。据此，有学生合情推理，仅仅认为两个连续自然数的最大公因数都是1，最小公倍数都是它们的乘积;有学生则扩大化地进行合情推理，认为任意两个数的最小公倍数都可以用这两个数相乘等。对于不同学生不同的合情推理，教师要引导学生进行反思：我这样的推理道理何在？有没有什么证据遗漏？到底在怎样的情况下合情推理才成立？能举出相关的例子进行佐证吗？能够找到一个反例吗？如在《最大公因数和最小公倍数》的合情推理过程中，有学生发现了4和9、1和9、2和9，尽管不是连续的自然数，但最大公因数也是1，最小公倍数也是它们的乘积。同时，学生也发现，4和6，6和8等的最大公因数就不是1，最小公倍数也不是它们的乘积。也就是说，并不是任意两个数的最大公因数都是1，最小公倍数都是它们的乘积。同时，也并不仅限于两个连续自然数的最小公倍数是它们的乘积。在正反论证比较的过程中，有学生分类总结出互质数的五种情况，即1和任意自然數，2和任何一个奇数，连续的两个自然数，连续的两个奇数，两个不相同的质数等。通过这样的反思、论证（包括证实和证伪），学生能找出合情推理的纰漏，能认识到合情推理的不足，从而能及时地对自我的合情推理进行纠偏。

合情推理是学生数学推理的一个重要组成部分。只有让学生了解合情推理的内容，理解合情推理的意义，在实践中引导学生合情推理，学生才能逐渐掌握合情推理的方法，形成合情推理的习惯。学生在合情推理的过程中，不仅能形成合情推理技能，而且能感悟合情推理思想，提升合情推理力，促进数学素养的提升。