夏灿芳　陶友根　彭月

[摘  要] 概念的形成过程就是对概念进行数学抽象、概括的过程，而板块内容的起始概念作用尤其突出，抓住了起始概念，就抓住了该板块的根基，把握住了发展学生数学抽象素养的最好契机. 文章从认知心理学支撑的方法论角度，阐述了起始概念课的教学设计策略：创设合理情景，自然引入概念;梳理共同属性，抽象概括概念;辨析应用概念，促进概念理解;探究概念流向，建立概念联系;反刍探究过程，评价抽象水平. 同时，文章指出应把握各环节相应的合理性、指向性、生成性、自然性、适应性，以保证起始概念课对于提升数学抽象素养的价值.

[关键词] 数学抽象;起始概念课;设计策略

数学抽象素养是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养. 而数学抽象是数学的基本思想，主要表现就是获得数学概念. 数学概念是学习数学知识的基础，是数学思维的基本形式，其形成过程通常经历两种不同层次的抽象过程：一种是从数学外部的事物出发，经过数学化抽象出数学概念;另一种是在数学内部，对已有数学概念的进一步抽象结果.[1]概念的形成过程就是对概念进行数学抽象、概括的过程，而板块内容的起始概念作用尤其突出，抓住了起始概念，就抓住了该板块的根基，把握住了发展学生数学抽象素养的最好契机.

从认知心理学的观点看，概念学习一般要经历如下过程：（1）典型具体事例的分析、比较和归纳，得出共同属性;（2）将共同属性推广到一般而概括出概念;（3）通过具体例子（特别是反例）辨析概念关键词，以及用概念做判断的应用活动促进概念的理解;（4）通过综合、复杂的应用建立相关概念的联系使概念“精致”化.[2]基于此方法论，如何在起始概念课中，设计好抽象概括过程，提升学生数学抽象素养呢？下面以“变化率与导数”为例，与同行分享笔者实践与思考.

起始概念课教学设计的基本策略

（一）创设合理情景，自然引入概念

数学的板块起始概念知识，基本上都来源于感性认识，即学生所能观察到的或者自己所熟悉的日常生活的现实模型及抽象. 课程标准中更是强调数学与现实生活的联系，故教材编写也基本以“实际情境—建立数学模型—检验与应用”为主线展开. 因此，数学概念课的教学要基于大量的生活实例进行概念的探究和生成，回归生活原型，提炼数学概念是最基本的数学抽象形式点，这也是发展数学抽象概念的最初点.

例：（环节1）结合章引言和牛顿、莱布尼兹照片，介绍微积分的创立背景和作用;播放里约奥运会我国跳水运动员秦凯的跳水场景，引入教材引例：

人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）= -4.9t2+6.5t+10.

设计意图：1. 结合章引言，“微积分”高调入场，激发学生求知欲; 2. 放弃教材“问题1 气球膨胀率”，主要是因为生活中的气球基本都不能使用球体体积公式，虽对感知有一定帮助，但严谨性有待考证;3. 用学生熟悉场景引入，让函数关系不突然，学生无意中进入研究状态.

（二）梳理共同属性，抽象概括概念

数学抽象要以基于感知和操作的知觉经验为基础，通过典型的实例引导学生对概念的属性进行分析、比较、讨论、理解后总结出共同特征. 归纳类比、归纳概括是形成概念的重要方式，让学生以“发现者”角色经历概念的发现过程，深度参与数学抽象过程，只有这样才能积极有效地让学生经历知识的发生过程，促进学生认知水平的发展，提升数学抽象素养.

例：（环节2）问题1：在0≤t≤0.5这段时间里，问该运动员的平均速度及这个平均速度所含的物理意义是什么？

问题2：将0≤t≤0.5改为1≤t≤2呢？

问题3：在t1≤t≤t2这段时间里又怎么写？

问题4：你能再举一个例子，类比设计“求平均”的问题吗？

问题5：如果函数关系用y=f（x）表示，那么当x1≤x≤x2时，又怎么写？

设计意图：1. 通过设计问题1、问题2，从该实际问题的物理意义入手，让学生能够直观地感受到运动过程的变化是有快有慢的，而平均速度正是描述了位移在时间段内变化的快慢程度，为归纳函数平均变化率的概念提供了“认知基础”;2. 设计问题4，让学生自主举例，丰富事例中感知“求平均”的方法和结构，为抽象活动奠定基础;3. 设计问题3、问题5，引导学生将时间一般化、函数关系式一般化，拾级而上得到平均变化率的式子，“平均变化率”的概念就只差一个认定，即说法的明确，此时教师直接给出概念.此過程让学生充分体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想.

（三）辨析应用概念，促进概念理解

概念因其高度的抽象性，理解总是困难的，有些学生虽能够背得出概念的内容，却不能利用所学的概念去解决实际问题，为此笔者尝试利用具体例子（特别是反例）来辨析概念，这一做法有效地促进概念的理解.用概念解决问题，注意不只是题目而是问题，开放式设问更能让学生去自主思考、表达，利于数学抽象的反复强化.

例：（环节3）问题5：如何从数学角度来刻画温度的“骤降”？

问题6：你能举例说明用平均变化率来表示的其他生活现象吗？

设计意图：概念是从实际问题抽象出数学的本质，是对实际生活现象的数学概括，促进学生对概念（平均变化率）的理解，同时也让学生感受到数学与生活的联系.

（四）探究概念流向，建立概念联系

概念从来都不是孤立的，概念的巨大价值就在于其广泛联系. 探究概念的流向，将概念置于复杂的环境中，建立与相关概念的联系，才是概念的价值. 对于板块起始概念，更多地研究其流向，由其层层推进，衍生新的概念.

例：（环节4）问题7：通过高度和时间的函数图像可以看到，t=0和t=时的高度是一样的，这个时间段内的平均速度为0，但显然运动员并非是静止的. 这说明平均速度能粗略地反映运动员在某段时间内的运动状态，却不一定能反映他在某一刻的瞬时速度. 物理上是怎么求瞬时速度的呢？（PPT呈现打点计时器、纸带及实验求瞬时速度的结论）

问题8：为什么说任意一点的瞬时速度可以表示为与该点相邻的两点之间的平均速度？

设计意图：1.让学生初步明白平均变化率的不足，感受进一步探究、学习的必要性，激发进一步探究的欲望，完成平均速度到瞬时速度的过渡;2.用物理实验结论，能让学生更好地理解数学（接地气），同时也能让学生感受数学对于自然科学的巨大作用.

（环节5）问题9：求运动员t=2时的瞬时速度？

（环节6）问题10：运动员在t0时刻的瞬时速度（变化率）如何用数学语言表达？

问题11：类比归纳：函数f（x）在x=x0处的瞬时速度（变化率）怎么表示？

设计意图：由平均速度的极限抽象为瞬时速度，将平均变化率的极限抽象为瞬时变化率，即导数. 让学生再一次经历从特殊到一般的抽象过程，符合学生的认知规律，提高他们的思维能力，使得瞬时变化率的概念获得“原型”支持，形成概念的模式直观.

（环节7）教师给出导数的定义，引导学生阅读概念，并提问：（1）瞬时变化率与导数有什么关系？（2）f ′（x0）的值与x0的值有无关系？（3）f ′（x0）的值与Δx的具体取值有无关系？（4）强调符号书写的规范性.

设计意图：1. 辨析概念及符号表示，概念的符号语言，就是求法，在学生辨析的基础上，教师要明确讲解，正本清源;2. 引导学生舍弃具体问题的实际意义，抽象为数学属性，在知识的迁移下，学生能顺利地表示出一般函数在某点处的瞬时变化率，即导数，实现认识上的飞跃.

（环节8）例题：将原油精炼为其他各种不同产品时，需要对原油进行加工（主要为加热或冷却）. 原油的温度（单位：℃）与第x时（单位：h）的关系为f（x）=x2-7x+15（0≤x≤8）. 让学生计算f ′（6）和f ′（2），并说明它们的意义.

设计意图：此题为教材例题，原题目问的是计算第2h和6h的瞬时变化率，改为让学生直接计算f ′（2）和f ′（6），让学生熟练导数书写形式，加深对概念的理解，巩固导数的计算过程及其内涵意义.

（五）反刍探究过程，评价抽象水平

在概念探究过程中，学生对概念的理解程度怎样是立竿见影的，而对数学抽象方法、抽象能力的过程性、形成性与诊断性评价是长远的追求.

例：自评小结：（1）你能用自己的语言描述平均变化率、瞬时变化率、导数的含义吗？（2）你能用一个事例，串联这几个概念吗？（3）回顾一下物理、数学的内容，你能列举几个与之相联系的概念吗？（4）通过本节课的探究，你觉得我们应该如果学习一个新的数学概念？

设计意图：反思是提升的重要手段，对标数学抽象素养的三个水平设置问题，让学生在思考回答中加深概念理解，进行自我水平评估，同时为后续学习提供方法支撑.

本节起始概念课设计的几点说明

1. 本节课的内容是变化率问题和导数的概念两课时的整合.这样安排是基于以下两点：一是平均变化率和瞬时变化率是为了导数的引入作铺垫的起始概念，两节内容一起讲授能让导数概念的形成更自然流畅;二是学生已在高一学过了平均速度和瞬时速度，并且做过物理实验打点计时器，为求瞬时速度提供了知识基础，同时学生层次较好有能力接受两课时的内容.

2. 本节课有两个概念，平均变化率是最起始的概念，瞬时变化率是平均变化率的纵向升华，教学设计中把平均变化率视为主体，采取了概念教学中嵌套概念教学的做法. 虽然实际操作中，学生并没有异样的感受，但这种做法的科学性有待商榷.或者换个角度，是否可以采取单元教学设计策略，直接用概念串（平均变化率—瞬时变化率—导函数）呢？

把握起始概念课教学的“五性”，抓住数学抽象的“五要素”

1. 情境创设的合理性，数学抽象的土壤

由具体事例（现实情境）抽象概括出概念，这已是数学教师的共识，但在各级各类教研活动中，“假情境”广泛存在，“坏情境”也不少. 何为典型？事例的相关性、科学性都是应该充分考虑的，情境创设必须具有合理性，后续的抽象活动才有意义，情境是抽象的土壤. 比如：讲二分法，有人以娱乐节目猜价格的游戏引入，这就有明显的科学性问题，二分法适用于连续函数，而事例不是连续函数.

2. 归纳设问的指向性，数学抽象的方向

给出事例之后，类比找共性，应有引导性提问，否则可能找出一大堆无关紧要的东西.当然，设问也不能口子太窄，否则都不用找了. 教师要把握归纳设问的指向性，同时注意自由度，让学生有方向，也有思考的空间，给出现“意外的惊喜”提供一些可能.

3. 概念辨析的生成性，数学抽象的真实

事不辨不明，概念更需要辨析.在讲授式的课堂中常出现“一个概念几点说明”，老师有先见之明地给出几点，这种操作虽有一定的合理性，但有些武断了.老师可以在学生出现问题时再给予解答，或者用提问引导学生去发现问题（认知冲突），只有课堂生成的问题才是最真实的问题;只有把握好概念辨析的生成性，数学抽象才真实地发生过.

4. 概念联系的自然性，数学抽象的升华

概念之所以重要，在于它的基础性和联系性，所以大家都重視概念，也努力将各个概念相联系，但联系一定要自然，否则就会牵强，或者冲淡主题. 对于起始概念而言，联系的概念应该是其类比的起始概念，或者是其后续发展的概念，往往会再一次经历数学抽象过程，是抽象活动的又一次升华.

5. 使用方法的适应性，数学抽象的科学

凡事都是有方法论的，概念教学的方法更是层出不穷，但每种方法都不是万能的，也不能机械使用，要因地制宜、因时因势使用，让理论为实践服务，而不是为了用而用.

抽象经验需要在抽象活动中积累，抽象能力需要在抽象活动中发展，抽象素养需要在抽象经验的积淀与升华中养成. 学生接受教材和教师抽象出来的数学知识，未必懂得这些知识与原始的、具体材料的联系，未必理解和掌握其中的抽象思路与方法，而这恰恰是学生最有用、最需要的东西.[3]因此在进行起始概念教学时，要培养学生经历层次分明的抽象过程，让学生参与抽象、尝试归纳抽象，以达到在概念学习中学习抽象、学会抽象.

数学概念课教学是培养学生抽象思维的基本途径，是促进学生数学抽象素养的有效载体.笔者希望通过起始概念课的教学，以概念的内在逻辑为线索，将数学抽象贯穿在情景—归纳—迁移—应用的过程中，让学生充分经历抽象思维过程，更好地发展数学抽象核心素养.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准：2017年版[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  章建跃. 章建跃数学教育随想录：上卷[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[3]  李昌官. 数学抽象及其教学[J]. 数学教育学报，2017，26（04）.