唐巧莉

[摘  要] 几何探究题是初中数学重要的问题类型，通过以知识探究的形式来设置问题，具有综合性强、拓展性高的特点. 该类试题的解答需要学生以几何知识为基础，结合探究的方法. 文章以一道图形旋转为背景的几何探究题为例，探究其突破思路，并开展解后反思，提出相应的教学建议，与读者交流、学习.

[关键词] 几何;探究;平行;特殊;一般;猜想

试题呈现

试题  （2019江苏淮安中考）如图1，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=100°，点D是线段BC的中点.

小明对图1进行了如下探究：在线段AD上任意取一点P，连接PB，然后将线段PB绕着点P逆时针旋转80°，点B的对应点为点E，连接BE，于是得到了△BPE. 小明发现，随着点P在线段AD上的位置变化，点E的位置也在发生变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧.

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点E在直线AD上时，如图2.

①∠BEP=______;

②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系为______.

（2）请在图3中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE，试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由.

（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值.

探究突破

本题属于中考常见的几何探究题，以三角形的内容为基础，结合几何旋转，通过问题探究的形式考查几何综合知识. 问题分为三小问，实际上问题之间具有关联递进性，下面逐步探究突破过程.

1. 第一步：把握特殊情形

第（1）问中的点E在直线AD上，属于特殊情形的探究，需要关注原三角形ABC的性质及旋转过程，同时适度结合猜想进行探究.

对于①问，如图2，根据旋转过程可以获得两方面的内容：一是由“逆时针旋转80°”可得∠BPE=80°;二是由旋转前后线段长不变可得PB=PE，进而可知∠PBE=∠PEB（等边对等角）. 综合上述可知△PBE是一个顶角为80°的等腰三角形，从而可计算出∠BEP=50°.

对于②问，线段之间的常见位置关系主要有平行和垂直，结合图中的情形可以猜想CE与直线AB为平行关系，则只需结合两直线平行的判定定理来探究等角或补角即可. 连接CE，如图4，因为△ABC为等腰三角形，点D是线段BC的中点，所以AE是线段BC的垂直平分线. 所以EB=EC，AD⊥BC. 计算可得∠EBD=∠ECD=40°. 又∠BAC=100°，AB=AC，所以∠ABC=∠ACB=40°，进而可得∠ABC=∠ECD. 所以AB∥CE（内错角相等，两直线平行），即直线CE与直线AB的位置关系为平行.

2. 第二步：一般情形推广

第（2）问则需要确保点E位于直线AD的右侧，属于点E位置的另一种情形，需要明晰两点：点E的位置由旋转角和旋转半径BP两者共同决定，但旋转角始终为80°，则点E的位置就仅受BP长的影响. 进一步深究有：点P越靠近点A，BP就越长，则旋转后点E就越向AD右侧移动. 上述就是点E的动态旋转过程，以及影响点E位置的因素. 实际分析时，可以采用特殊情形法，即只需取点E位于AD右侧的某一位置即可，然后基于图像结合第（1）问的解析方法，采用“猜想—证明”的思路来探究，具体如下.

如图5，以点P为圆心、PB的长为半径画圆，使得旋转后点B的对应点E位于直线AD的右侧，然后连接PC. 显然AD是BC的垂直平分线，则∠ABC=∠ACB=40°，PB=PC. 又∠BCE=■∠BPE=40°，从而有∠BCE=∠ABC. 所以AB∥EC. 所以直线CE与直线AB依然是平行关系.

3. 第三步：综合拓展应用

第（3）问求点P在线段AD上运动时，AE的最小值，针对几何探究题，需要充分结合前两问的结论来构建思路. 由上述结论可猜想：无论点P在AD上如何移动，直线CE始终与AB平行. 而点C为顶点，则点E始终在射线CE上运动，即随着点P在线段AD上运动，点E在射线CE上运动，如图6. 过点A作射线CE的垂线，垂足为H，显然当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的长与线段AB的长相等，即AE的最小值为3.

解后反思

上述是以图形变换为基础的几何探究题，整体设计由特殊到一般，由结论到应用，能够充分体现知识探究应用的过程，不仅全面考查了学生对几何知识的掌握情况，还考查了学生的探究能力. 笔者认为下面几点需要深入反思.

1. 探究突破的关键点

问题以几何旋转为基础，由点的位置讨论进行探究深入，分设了三个小问，每一问的突破均需要充分利用前一问的结论及论证过程. 因此对于（1）问，其突破的关键是融合感性認识与理性分析，充分利用旋转特性来论证猜想. 而对于后两问，则需要充分了解分类情形出现的根源，结合（1）问的结论来适度猜想，并严谨论证. 总体而言，深刻认识旋转特性是求解该类试题的基础，从旋转的过程中提炼出“变”与“不变”的条件是解题的关键.

2. 值得学习的内容

几何探究题的问题形式突出“探究”这一特点，即试题具有一定的开放性，通过问题形式可以引导学生递进思考，获得相应的探究能力. 以上述考题为例，实际上三小问就是围绕几何旋转特性开展的几何探究，其特殊之处在于动态特性的转化形式. 如第（2）问，借助几何圆来呈现几何旋转，由圆的特性来转化旋转特性，利用隐形圆可以简洁地突破难点. 而第（3）问则是对第（2）问结论的深入拓展，以此为基础构建了相应的动点轨迹，即以特殊点的位置为依托，由“点”成“线”，以“线”定“位”.

3. 问题的深度变式

对于上述问题，了解其命题核心后，可以依托几何知识对其适度变式.

变式1？摇 （原试题的条件不变）请在图3中画出△BPE，分析直线AD的右侧是否存在点E，使得直线CE与直线AB平行. 若存在，请判断存在的个数，并说明理由.

参考思路？摇 在直线AD的右侧任意作出一点E，结合旋转特性和两线平行的判定条件来构建思路并加以论证，从而可判定这样的点有无数个.

变式2？摇 （原试题的条件不变）当点P在线段AD上运动时，试分析点E的运动轨迹，并求出直线AE的取值范围.

参考思路？摇 结合上述探究结论，很容易判断出点E的运动轨迹为一条线段，则只需要根据点P在线段AD上的运动范围即可确定AE的最大值和最小值.

教学建议

1. 注重引导设问，倡导独立思考

几何探究题突破的难点是如何利用题干条件来提出猜想的，这需要学生掌握相应的探究方法，包括对条件的解读和思考方向. 以上述考题为例，两直线常见的位置关系有两类：平行和垂直，因此问题的实质就是挖掘平行或垂直的判定条件. 分析时只需要关注其中的角度即可. 而在教学培养时，可以采用引导设问的方式，给出核心条件，以此为出发点设置关联问题，利用问题的指向性来引导学生思考，逐步培养学生独立思考的能力.

2. 注重解后思考，总结解题方法

几何探究题是中考常见的问题形式，该类题的特点是设问具有关联性，以探究应用为主. 解决该类试题时，需要教师引导学生对其加以解读，提炼相应的解题思路. 以上述几何旋转为背景的探究题为例，探究时需要合理利用“从特殊到一般”的数学思想，采用“猜想—论证”的解题思路来加以突破. 另外，解题突破时，还应注意总结模型构建的方法，例如上述所涉及的绘制“隐形圆”、连点成线等. 解题过程不仅是解题策略的融合，还是解题思想的综合过程，在解后思考阶段，教师应提炼解题过程中的数学思想，使学生逐步理解数学思想的内涵.

3. 注重问题变式，拓展解题思维

“解一题，同类题”是开展考题教学的意义所在，即需要通过类型考题讲解使学生充分认识考题结构，深入理解解题方法. 而开展问题变式是重要的教学方法. 变式探究的过程可实现问题重构、思维重组，学生的思维可以获得极大的锻炼. 以上述考题为例，通过变式1，学生可以充分认识到两线平行的一般性;由变式2学生可以认识到动点的运动轨迹. 因此，教学中，需要教师在解后回顾阶段针对教学目的合理设置一些变式问题，引導学生思考，深入探究问题，以拓展学生的思维.

写在最后

几何探究题具有极高的教学价值，是知识与能力融合最为紧密的代表性问题，教学时应注重探究方法的讲解，合理设问，逐步引导，使学生在突破问题的同时获得相应的探究方法. 探究题的拓展性很强，在解后反思阶段，有必要引导学生反思解题过程，总结解题思路，并通过适度的变式来提升学生的解题思维，以促进学生数学素养的发展.