茆华

[摘  要] 几何模型是平面几何学习的重要内容之一，模型中的结论以及解析思路对于几何综合题的突破有着极大的帮助. 文章对一道几何问题进行思路讲解，提炼其中的几何模型，并深入解读、适度拓展，提出相应的教学建议，与读者交流.

[关键词] 对角互补模型;三角形;全等;相似;思想方法

考题呈现，思路讲解

1. 考题呈现

考题？摇 已知⊙O是△ABC的外接圆，在∠BAC所对的弧上任意取一点D，连接AD，BD，CD，已知AB=AC，试回答下列问题.

（1）如果∠BAC=α，如图1所示，请直接写出∠ADB的大小（用含有α的式子表示）;

（2）如果∠BAC=60°，如图2所示，试求证BD+CD=AD;

（3）如果∠BAC=120°，如图3所示，试判断BD+CD与AD之间的数量关系，并说明理由.

2. 思路讲解

考题为涉及圆的几何问题，探究图中的角度大小和相关线段之间的等量关系，需要综合圆、三角形等几何性质来构建，具体思考过程如下.

对于第（1）问，已知AB=AC，所以△ABC为等腰三角形. 由“等边对等角”可知∠ABC=∠ACB. 结合三角形的内角和可得∠ADB=∠ACB=■（180°-∠BAC）=90°-■，即∠ADB的大小为90°-■.

对于第（2）问，需要求证BD+CD与AD的长度相等，可以采用等边代换的方式，而代换时可以构建全等三角形，利用全等三角形的性质进行. 具体求解过程如下：延长DB至点E，使得∠EAD=∠BAC，再过点A作DE的垂线，垂足为F，如图4所示. 结合条件容易证得△EBA≌△DCA（ASA），由全等性质可得BE=CD，AE=AD. 结合（1）问可知∠ADB=60°，所以∠FAD=30°，BD+CD=BD+BE=DE. 由于AE=AD，所以△AED为等腰三角形. 结合等腰三角形“三线合一”定理可知EF=DF，即DE=2DF=2ADsin30°=AD，即BD+CD=AD，证毕.

对于第（3）问，该问将∠BAC的度数改为120°，要判断BD+CD与AD之间的数量关系，可以参考第（2）问的解题思路，首先構建全等三角形，然后利用全等性质来对线段进行等……