季茜

摘  要：“数的认识”是小学数学中值得持续研究的主题，其中有一些可以遵循的规律。教学中，教师要引导学生充分经历“数概念”的抽象过程、充分发挥“数表象”的过渡作用、充分辨析“数本质”的属性思想。建立“数概念”，不仅要理解“数概念”的内涵与外延，还要引导学生用“数”进行表达、交流。

关键词：小学数学;数的认识;知识解读;操作要义

小学数学的基本内容有四大板块：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”以及“综合与实践”。虽然每一板块的内容在不同版本的教材中有着不同的结构安排，但却有着共通的知识结构及其操作要义。解读相关模块知识结构，明晰相关知识模块的操作要义，能够提升教师的教学效能。本文以“数与代数”板块中的“数的认识”模块教学为例，试探其知识结构及其操作要义。

■一、充分经历“数概念”的抽象过程

从“数”的产生的本源看，“数概念”是人类在长期生活中对自身实践进行的抽象总结。最为基本的“自然数”源于“数”。有学者深刻地指出，“十进制计数法乃是源于人类生理上的一种凑巧”。明晰了这一点，在“数的认识”教学中，教师就要引导学生充分经历“数概念”的形成过程。

首先是整数概念的形成过程。教学中，教师引导学生像古人一样，用石子计数、结绳计数，渗透“一一对应”的数学思想。学生经历了从“具体直观”到“半抽象半直观”再到“抽象”的过程，自然就能对“数”的抽象性质有所感悟。当一位学生在学习中认识到“1”既可以表示一只羊、一个书包、一本本子的时候，就会发出“数的本领可真大啊”的感叹。这种感叹正是凝聚着学生对“数”的具体事物表征与“数”自身的抽象映射的感悟。当学生产生需要表示更大的数的心理需求时，教师可以充分发挥学生建构的主动性。如此，学生就会将10个物体作为一组，或者用线捆起来、扎起来，这就是“满十进一”。

其次是小数概念的建构过程。教学中，将小数概念嵌入情境，引导学生从现实背景入手，然后通过“去情境化”，形成抽象化概念。“量源于量”，在引导学生建构“一位小数”“两位小数”“三位小数”概念时，可充分展开学生思维过程，在学生获得丰富认知的基础上，引导学生压缩推理过程，形成“一位小数表示十分之几”“两位小数表示百分之几”“三位小数表示千分之几”的抽象认知，从而最终抽象概括出小数的意义，即“将整数1平均分成10份、100份、1000份……表示这样的十分之几、百分之几、千分之几……的数”。

再次是分数意义的感悟过程。在不同版本的教材中，尽管“分数的认识”内容的具体安排不同，但却都遵循着“循序渐进”的原则，从将“一个物体、一个计量单位、一个图形”平均分，建构“几分之一”的分数概念，到将“许多物体组成的整体”平均分，建构“几分之几”的分数概念，再到最后概括、抽象成“将单位‘1平均分成若干份，表示这样一份或几份的数”的分数意义的揭示，这一整个过程都要始终引导学生进行“平均分”。分数就是“几份之几”（华应龙语）。通过这样的一个过程建构，学生就能感悟到分数概念的关键是“平均分”“平均分的份数”以及“表示的份数”。

■二、充分发挥“数表象”的过渡作用

如上所述，“数概念”是抽象的，而小学生的思维以具体形象为主。在学生抽象、概括建立“数概念”的过程中，教师要充分发挥“数表象”的过渡作用。所谓“表象”，是指“客观对象不在主体面前呈现时，主体在观念中所保持的形象”。相比较于观念，表象更为生动、形象、实在、强烈，它是架设学生主观认知、思维与客观的数学学习对象的桥梁。作为教师，要善于对学习素材进行加工，使之更“结构化”“意义化”。

在认识“自然数”时，可选用“小棒”“方块”“算珠”等具有“齐性”特质的学具，因为这些学具没有过多的附加属性，从而能让学生建立“数概念”表象，将学习目光聚焦到“齐性”素材的数学化特质上来。不仅在“数的认识”教学中如此，在“数的运算”中更是如此。再比如，从“一位数的认识”到“两位数的认识”是学生数学学习的一个转折点，作为教师，引导学生将10根小棒“捆”起来的过程，也能帮助学生建立“满十进一”的计数原则。换言之，“数的认识”的表象不仅可以是静态、直观表象，而且可以是动态、动作表象。那么，从“整十数”如何过渡到“整百数”呢？教学中，教师可以借助小方块来帮助学生建立表象，逐步让学生建立“位值”思想。

在学习《认识小数》时，可借助正方形、正方体，将之平均分成10份、100份、1000份，从而帮助学生建立“一位小数”“两位小数”“三位小数”的概念。在这里，学生对于正方形、正方体表象印象深刻的是：“一位小数就是平均分成10份，表示十分之几”“两位小数就是平均分成100份，表示百分之几”等。在教学中，教师可以运用多种模型，在抽象的数与现实的量之间建立关系，助推学生理解“数的意义”，建立“数的概念”，如“数位桶”“方格图”“计数器”“数轴”“数位顺序表”等。

在《认识分数》过程中，教师可借助纸，引导学生进行直观操作，借助操作性表象，深化学生对分数的本质认知。此外，从“自然数”到“小数”，从“小数”到“分数”，在数的发展过程（数系扩充）中，要突出数不能表达实际生活、实际運用的数的产生思想。再比如，“负数的诞生”，就是因为在实际的生产生活中，“正数”已经远远不能适应，因而“负数”才应需而生。不仅如此，教师还要有意识地沟通“数”“数”关联，如“小数是一种不带分母的十进分数”“正数和负数表示具有相反意义的量”等。

■三、充分辨析“数本质”的属性思想

“数与代数”是小学数学的主体部分，而其中“数的认识”板块又是“数与代数”知识的基础。在“数的认识”的教学中，教师要引导学生辨析“数本质”，也就是数的相关的属性，尤其是本质属性。学生掌握数概念，不应死记硬背，而应以理解为基础。为此，教师可以运用“变式”的方法，变换“数”的非本质属性，从而凸显“数”的本质属性，如引导学生进行“数”的比较，将“数”纳入“数的认识”的整体知识结构之中等。

一是引导学生进行“数概念”比较。比如“整数”与“自然数”、“小数”与“分数”、“正数”与“负数”、“奇数”与“偶数”、“质数”与“合数”、“公因数”与“公倍数”，等。在比较中，学生不仅能认识数的本质，而且能明晰数与数之间的关系，是反对关系、交叉关系还是从属关系等。

二是引导学生进行“数概念”辨析。对于“数概念”，教师要引导学生品味、咀嚼，比如“倒数”的概念，其中“乘积”是“1”的“两个数”叫作“互为倒数”，就值得揣摩、品味。尤其是“两个数互为倒数”揭示了“互为倒数”的两个数之间的相辅相成、相互依存的辩证统一关系。“因数与倍数”的概念同样如此。

三是运用“变式”策略。通过展示“变与不变”，在“变化”的非本质属性中揭示“不变”的本质属性。比如教学《分数的初步认识》，教师就可以提供形状、大小、颜色等都不同的纸张，引导学生进行操作。“为什么每份的形状、大小不同，但却能表示同一个分数呢？”“因为它们平均分的份数相同，表示的份数也相同。”

四是运用“结构化”策略。一个“数概念”只有在“数结构”之中才能获得完全的理解。比如从“因数与倍数”出发，教师可以引导学生根据“是否是2的倍数”引导学生认识“奇数与偶数”，根据“因数的个数”引导学生认识“质数与合数”，根据“因数与倍数”，引导学生认识“公因数与公倍数”“最大公因数与最小公倍数”等。这里，诸多“数概念”被集结成一个“知识结构”，每一个“数概念”在这个结构中都能获得深刻理解。

“数的认识”是小学数学中值得持续研究的主题，其中有一些可以遵循的规律，但许多问题还需要持续探索。认识“数”的概念本质的过程，也是学生逐步建立“数感”的过程。建立“数概念”，不仅要理解“数概念”的内涵与外延，还要引导学生用“数”进行表达、交流。笔者希望更多的有识之士能投入小学数学教学领域的操作要义研究中，以期提升数学教学的实效，提升数学教学的品位。