内容摘要：敦煌藏文写本已鉴别出3件藏文九九乘法写本，即法国国家图书馆藏伯希和收集品之P.T.1070与P.T.1256

和敦煌莫高窟北区出土写本B59：10。关于这3件藏文写本的历史年代、文字特点、内容、数学含义等学术界多有探讨，但多数研究忽略了敦煌藏文九九乘法写本与西藏筹算中的九九乘法写本的渊源关系。故此，本文尝试在已有的研究基础上，对敦煌藏文九九乘法写本及西藏筹算中的九九乘法写本方面做进一步研究，以便梳理敦煌本藏文九九乘法写本与西藏筹算中的九九乘法写本的关系及其发展演变。

关键词：九九乘法表;藏文写本;历史渊源;比较

中图分类号：G256.1  文献标识码：A  文章编号：1000-4106（2019）05-0102-09

A Study on the Relationship between the Multiplication

Table from a Dunhuang Manuscript in Tibetan and

the Multiplication Table Appearing in

Tibetan Calculation with Counting Rods

CAIXIANG Duojie

（Institute of Social Economy， China Tibetology Research Center， Beijing 100101）

Abstract： Among a group of recently reexamined Tibetan manuscripts from Dunhuang， 3 have been identified as multiplication tables in Tibetan： 2 of these（P. T.1070 and P. T.1256）are currently held by the Pelliot Collection of the National Library of France， while the other（B59： 10）was excavated from the Northern Area of the Mogao Grottoes. Much research has been done on the historical origins， scriptural features， and the mathematical content and concepts of the three manuscripts， but the historical connection between the Tibetan multiplication table from these Dunhuang documents and that found in Tibetan calculation with counting rods has been entirely overlooked. This paper compares the two versions of the multiplication tables， hoping to elucidate the relationship between their content and historical development.

Keywords： multiplication table; manuscript in Tibetan; historical origin and relationship; comparison

前 言

20世紀初在敦煌莫高窟藏经洞发现了大批历史文献，其中藏文历史文献数量较多，据统计约有5000卷，大部分现藏于法国巴黎国立图书馆和英国伦敦印度事务部图书馆。这些文献涉及宗教、历史、法律、文学、医药、科技、社会经济等，内容非常广泛。其中十余件藏汉算书九九乘法写本不仅对西藏早期的算术起源和发展提供了史料证据，也对藏汉文化交流渊源提供了新的例证。

据有关研究结果，汉文写本已经鉴别出11件（其中就包含12件九九乘法写本）。这些写本为：英国大英博物馆斯坦因收集品的S.19、S.983v、S.4569、S.6167、S.8336v等5种（6份）;法国国家图书馆藏伯希和收集品的P.3349、P2502v、P.3102v等三种;俄藏Дx.2145v、Дx.2904以及敦散226 （羽037R）等[1]。已鉴别的藏文写本有3件， 包括法国国家图书馆藏伯希和收集本P.T.1070和P.T.1256，敦煌莫高窟北区出土写本B59：10。另外，本人在新发现的筹算文本中，又找到晚期的藏文九九乘法写本，以下分别介绍。

一 藏文写本P.T.1256{1}（图1）

（二）写本内容及历史年代

从 P.T.1256的内容来看，本人推断，这一写本并非藏文九九乘法写本，而是由汉文版的乘法表音译而来的。

P.T.1256的历史年代，可以从两个方面进行分析：第一，对九九乘法写本的藏文字体与同时期的文献字体进行对比;第二，从藏文音译表达特点上进行探析。

从藏文字体来看，此写本与敦煌出土的同时期其他古藏文字体类型相近，但从藏文字母的运用特点来看，与敦煌早期和中晚期的古藏文字母具有较大差异，因此P.T.1256中的字母可以认为是藏文文字形成规范化之后出现的，因为与同时期的敦煌古藏文字文献比较发现，敦煌古藏文字文献中经常出现的音律符号的正反使用和每个单元字母互换等写法在此写本中均未出现。另外，在藏文词、句、章节收尾中所用的垂直符号，比如单垂符、双垂符、四垂符的使用，本写本虽然与敦煌古藏文相近，但从其字母和音律符号上判断，仍然可以推断此写本是吐蕃晚期或公元9世纪之后出现的。另外，藏文“”的用法自藏文规范厘定后便没有出现在正规的书面叙述中。而此处连续出现17次，因此，本人推断此写本所出现的地区可能没有及时规范藏文的书面叙述，也可能是为方便翻译和使用汉文版的九九乘法表而使用“特殊字符”的。

从音译的表达上来看，虽然是汉文九九乘法口诀译成藏文，但是几个细节仍值得进一步探讨。一是其九九乘法表口诀是从大到小排列，即从九九八十一到一一得一，这与现行的汉语乘法口诀九九表顺序相反，但却与藏族筹算{1}和历算中的口诀相同。值得注意的是，数学史家杜石然在《中国数学简史》中称：“据现有的资料，‘九九歌最初是由‘九九八十一到‘二二而四，至少到公元1、2世纪时仍是如此。把‘九九歌扩充至‘一一如一，这大约是公元5至10世纪间的事，最早到魏晋时代，中国数学家才确定了乘法定义。”[2]这样看来汉语九九乘法表也在此时形成。二是这部文书共出现138个带i元音的韵母（部分是单元音i做韵母，部分是元音i加不同的辅音尾音），未发现早期文书中常见的反元音[3]。由此看来，可推断此文本可能成于吐蕃晚期。三是从吐蕃占领瓜州、沙州的整个时期（786—848）[4]来看，敦煌汉民族文化对吐蕃的影响很大，吐蕃人便开始学习汉语与汉文化。此现象可以从敦煌发现的藏文注音文本中得到证明，如藏文注音的汉文启蒙读物《千字文》《百家姓》等，还可从编写汉藏日常用语对照词汇得到进一步的证明，如P.T.1263、P.T1262等。此外，在敦煌的宗教生活中，汉藏语之间的共同使用也是较为普遍的事。有文献证明，当时的吐蕃统治者曾组织人力对汉文佛经用藏文进行注音或对勘，如对《般若波罗蜜多心经》等的注音（见敦煌文献P.T.488），对《瑜伽师地论—菩萨地》标注的汉藏词汇对照（见P.3301）等。由此可见，当时对汉文化的学习和交流在文献的藏汉注音和对勘上有一定的表现。

由此可见，此九九乘法表写本虽是藏文写本，但其实质是由汉文九九表的音译而来，时间上可以断定为吐蕃晚期或公元9世纪之后。内容上，它与先前汉文九九表相符，与其他敦煌算书写卷几乎相同，因此笔者认为此写本或許为当时吐蕃人学习汉文九九表的一种方法。

二 P.T.1070藏文九九乘法写本（图2）

（一）写本内容汉译

写本原文：

汉译：

九九八十一， 九八七十二， 九七十二六十三， 九六五十四， 九五四五， 九四三十六， 九三廿七，九二一十八， 一九得九， 八八六十四， 七八七五十六， 八六一十三[四十八]， 八六二十八[八五四十]，八四一十五[三十二]， 四六一十三[二十四]， 廿

（二）写本内容及历史年代

从内容上看，这件写本共15句，从九九八十一开始到四六一十三，再到廿十。其中多个内容个人推断可能为抄写错误，或抄录者已经意识到抄写错误，并且错误较多而停笔，所以我们可以看到此九九乘法写本并不完整。

三 B59：10 a和b写本

（一）写本内容汉译

1. B59：10a藏文九九乘法写本正面（图3）

原文：

汉译：

九七六十三， 九六二九十八，九1九八五五八四十， 八4八 八， 七七四十九 七3三七二十， 七22七 十，六四4六廿十四，六3三六 廿十五，五四四五廿十，五三3五

2. B59：10b 藏文九九乘法写本背面（图4）

原文：

汉译：

四3三四十二，四2二四， 三六，三1一三三，伊—国王，结束

（二）内容及历史年代

敦煌莫高窟北区出土的B59：10藏文写本残片，共11行，其背面第4行内容无法辨认。字体为吴迈字体，写在藏文长卷式书上，内容为九九乘法。

从字体上看，与其相仿的吴迈字体从佛教后弘期开始较为普遍，且卷中没有发现音符的正反使用及三十个字母中每个单元字母的互换使用，在文体上与现今使用的藏文并无两样，所以也可认为是后弘期的文字。另外，■符号的使用，与伏藏文献相像。因一般伏藏文献均用此类标记，是否为伏藏文献有待考究。

从字义上看，可以看出与前面的两卷文书略有差别。比如：“”“”“”等上看，与前面P.T.1070 藏文九九表相比有明显的变化，可以认为是藏文厘定改革后的写卷。但是“”等表达方法还未有变化，也写成“”，与现在藏语中“”的写法不同，又比如“”显然出现了语法上的错误。“”的后加字“”用符号放在“”的上面，这是受到梵语的影响。另外“”中同时使用数字和文字的叙述，这与西藏筹算中的使用方法完全相同。笔者收集整理的近12本藏族筹算文献[5]中大部分内容均用此类叙述方式，这是西藏数学的一大重要特征。另外，“”“”等数学模式早在五世达赖喇嘛时期就已经很普遍。笔者推断这种模式在萨迦或更早时期均有使用，因为民间的九九乘法口诀基本是按照此方法进行的，尤其在五世达赖喇嘛时期，德炯安南达{1}所撰写的《提炼九章》{2}已有明细，而且念法几乎一样，均带韵律及格律式朗诵。

四 《德炯素算》中出现的九九乘法表

（图5）

从现有的资料来看，《德炯素算》出现在五世达赖喇嘛时期，即17世纪[6]，故价值非常之大。内容上分八章，从隹差到素算、卓算、恰主、速算、各庄园收支计算、恰山、那呷、银差等的算法运演描述详尽，而且对九九乘法以表格的形式加以应用，并附有口诀念法，非常详细。

（一） 写本内容及其用国际通用数字表达（表1）

1. 写本内容

2. 用国际通用数字表达（表2）

从表2中可以看出，在17世纪，藏文九九乘法表已经形成了统一的体系，其乘法是从大到小，即9乘1到2乘1，跟以上敦煌写本有差别的是，其乘法表有9乘10、8乘10、7乘10、6乘10等变化外，可以明显看出其这一乘法表有一定的继承关系。

（二）具体念法及汉译{1}

藏文念法：

汉译：

九一一九是为九，九二二九是为十八，九三三九是为二十七，九四四九是为三十六，九五五九是为四十五，九六六九是为五十四，九七七九是为六十三，九八八九是为七十二，九九是为八十一，九十十九是为九十。

八一一八是为八，八二二八是为十六，八三三八是为二十四，八四四八是为三十二，八五五八是为四十，八六六八是为四十八，八七七八是为五十六，八八是为六十四，八九九八是为七十二，八十十八是为八十。

七一一七是为七，七二二七是为十四，七三三七是为二十一，七四四七是为二十八，七五五七是为三十五，七六六七是为四十二，七七是为四十九，七八八七是为五十六，七九九七六十三，七十十七是为七十。

六一一六是为六，六二二六是为十二，六三三六是为十八，六四四六是为二十四，六五五六是为三十，六六是为三十六，六七七六是为四十二，六八八六四十七，六九九六是为五十四，六十十六是为六十。

五一一五是为五，六二二六是为十二，六三三六是为十八，六四四六是为二十四，六五五六是为三十，六六是为三十六，六七七六是为四十二，六八八六是为四十八，六九九六是为五十四，六十十六是为六十。

四一一四是为四，四二二四是为八，四三三四是为十二，四四是为十六，四五五四是为二十，四六六四十为二十四，四七七四是为二十八，四八八四是为三十二，四九九四是为三十六，四十十四是为四十。

三一一三是为三，三二二三是为六，三三是为九，三四四三是为十二，三五五三是为十五，三六六三是为十八，三七七三是为二十一，三八八三是为二十四，三九九三是为二十七，三十十三是为三十。

二一一二是为二，二二是为四，二三三二是为六，二四四二是为八，二五五二是为十，二六六二是为十二，二七七二是为十四，二八八二是为十六，二九九二是为十八，二十十二是为二十。

（三）内容分析

从17世纪的藏文九九乘法表及其念法来看，这个时期的九九乘法表跟上述提到的P.T.1070和B59：10的九九乘法写本相比，既有传承发展，又有很多差异。甘丹颇章时期出现的藏文九九乘法表里用“九一一九是为九，九二二九是为十八，九三三九是为二十七，九四四九是为三十六，九五五九是为四十五，九六六九是为五十四，九七七九是为六十三，九八八九是为七十二，九九是为八十一，九十十九是为九十”的乘法，这与P.T.1070的 “九九八十一， 九八七十二， 九七十二六十三， 九六五十四， 九五四五， 九四三十六， 九三廿七，九二一十八”及B59：10中的“九七六十三， 九六”等相比較，其顺序及表达方法上具有相对的一致性，可以认为甘丹颇章时期的九九乘法表就是在以上两种九九乘法写本的基础上加以发展和完善的。而且从P.T.1070和B59：10的文字上可以看到其九九乘法表就是由藏文文字的形式进行抄写保存的，虽然B59：10中有藏文和数字并存的方式，但总体上可以看出九九乘法是以口头或文字的形式出现的，而到甘丹颇章时期既有口头的念法，又有文字的记录，并且很多时候都是以表格的形式出现，在一定程度上讲，这个时期就是藏文九九乘法表的成熟期。

从文字上看，P.T.1070和B59：10两种写本均有很多藏文厘定以前的内容，或在语法上出现了很多错误，与藏文厘定之后的文字有些出入，比如：“”中

“”的“”的用法，“”的用法，可以判断出P.T.1070出现在藏文厘定前，而B59：10出现在藏文厘定后，其中也有很多口头语的部分，比如 “”“”“”等，有可能是抄写者按照口头背诵的方式抄写，也可以认为是萨迦或帕竹时期出现或更早时代的产物。而甘丹颇章时期的九九乘法表属于官方厘定的内容，其表述非常严谨，可以从相关的几种表达方式可以看出，并且使用及推广概率较高。

五 结语与讨论

综上所述，法国国家图书馆藏伯希和收集藏文写本P.T.1070和P.T.1256， 敦煌莫高窟北区出土写本B59：10，甘丹颇章时期出现的藏文九九乘法表等的年代上来看，P.T.1070虽然是藏文书写，其实质是汉文九九表的音译，时间上我们可以推断为吐蕃晚期或公元9世纪之后。内容上，它与先前汉文九九表相符，并且与其余敦煌算书写卷几乎相同，笔者认为这一写本可能是当时吐蕃人学习汉文九九表的一种体现。

P.T.1256与B59：10的关联性较强，均是藏文九九乘法表，“从前一部分来看，它与汉文九九表相近。但与汉文本的‘小九九不同，这份藏文本是‘大九九，如：‘，而且是被乘数在前”[7]，B59：10包含了大九九和小九九， 如“九八、八九七十二”，先“9×8”（被乘数在前） 再“8×9”（乘数在前），而其他敦煌汉藏文本九九表都是小九九， 如S.8336v中的 “六九五十四， 五九四十五”（乘数在前，被乘数在后）。这是它们最大的差异。由此可见，B59：10并非现存敦煌汉文九九表的译本。汉文九九表也不是 B59.10 这类藏文算书的汉译本，由此推断他们并非同一个传承[7]。

甘丹颇章时期的九九乘法表是P.T.1256与B59：10的继承和发展，因其九九乘法表与前面两种乘法的顺序、体裁、方法都有相同之处，而且也可以看出其发展演变的历史，不难推断西藏筹算发展的侧面历史。故此笔者认为以上四种九九乘法写本的时间顺序为：P.T.1070写本出现在公元9世纪后，P.T.1256和 B59：10（笔者推测）分别为佛教后弘期的早期和后期，而甘丹颇章时期的九九乘法表则出现在17世纪。

总之，几种藏文九九乘法写本的发现， 既反映了公元9世纪及后期西藏数学的基本面貌，又反映了藏汉文化交流的情况。第一本写本的出现，我们既不能简单地得出“它是汉地算书的藏译本”的结论， 也不能完全排除这种可能性。后期出现的九九表的内容编排可分为小九九和大小九九并用的两大类，既有相似之处，也有其各自的特点：汉文写本用小九九，乘数由低到高，藏文写本B59：10大九九和小九九合用，而大九九之乘数、小九九之被乘数由高到低排列。这表明藏汉地区算书属不同的编排系统。B59：10是现存藏地算法口诀的早期例证，其后甘丹颇章时期出现的九九乘法表是这一例证的实据，由此也可以看出西藏筹算，抑或是其内容之一的九九乘法表的演变历史。

参考文献：

[1]张小虎.敦煌算经九九表探析 [J].温州大学学报（自然科学版），2011，32（2）：1-2.

[2]杜石然.数学· 历史· 社会[M].沈阳： 辽宁教育出版社，2003.

[3]华侃.敦煌藏文写卷九九乘法表的初步研究[J].西北民族大学学报（哲学社会科学版），1985（3）：45.

[4]季羡林，主编.敦煌学大辞典[M].上海：上海辞书出版社，1998：369.

[5]才项多杰，编著.西藏传统筹算文献整理与释义[M]. 北京：中国藏学出版社，2018.

[6]Tseesng Dorje.Research on two documents of rdwl rtsis from the 17th century[J].China Tibetology， 2015 （2）：111.

[7]刘英华.敦煌本藏文算书研究[J].西藏大学学报（社会科学版），2015（1）：79.