吕银堂

【摘 要】“伪证”思想是由波普尔在归纳主义批判的基础上提出的一种思想。在高中数学的几何证明学习中，“伪证”思想就是一种不按照正常逻辑分析的虚假证明，它可以帮助学生正确理解数学概念，提高学生的逻辑推理能力，锻炼学生解决问题的能力，引导学生进行思维创新。在高中数学的几何证明学习中，经常用“伪证”思想去推理命题，证明命题，由此可见“伪证”思想在高中数学几何证明中十分重要，通过简要分析其“伪证”思想，以加深学生对“伪证”思想的认识，加强对“伪证”思想的应用。

【关键词】高中数学 几何证明 “伪证”思想

波普尔在“伪证”思想中强调了三点：第一，科学并不是从观察事物开始，而是根据事物的问题开始；第二，科学的一些假设是试图解决各种不同的问题，因此需要“伪证”思想来证明科学的这些假设；第三，将不同的问题进行创新发展才能推动科学的进步。在“伪证”思想中有两个明显的特点，一个特点是“伪证”思想可以利用经验来证明。在科学理念的表达过程中必须要求准确的概念，因此一般情况下用全称判断，而一些经验中就有明显的答案，却不能用来证明这些科学理念，但是“伪证”思想却可以用经验来证明。另一个特点是“伪证”思想可以证明出一个理论是否正确。在可以发现一些经验与理論不同的时候，为了使理论符合经验，经常对理论进行范围的限定，但这样的方法缺乏科学性，而在科学理念中可以运用“伪证”思想来证明，“伪证”思想可以证明假设一切理论是正确的，从而发现其间真正正确的理论。“伪证”思想通过大胆的假设来证明事例是正确亦或是错误，来解决实际中的难题。

一、高中数学几何证明中的“伪证”思想的重要性分析

在高中数学几何证明中，“伪证”思想经常出现，特别是在一些几何概念证明与几何定理推理中会经常用到“伪证”思想。而几何证明仅仅是一种对几何的一种探究与假设，在探究与假设过程中解决几何问题，因此需要“伪证”思想来证明几何问题。在高中数学几何证明中的“伪证”思想其实就是一种假设思想，在几何证明过程中，先假设其中的假设结论是正确的，那么可以根据这个正确的结论与其他条件进行推导证明，如果推导是正确的，那么可以证明这个假设结论是正确的。但是，根据“伪证”思想来证明几何是由一定难度的方法，这要求学生能够正确理解数学概念，并有较强的逻辑分析能力，不会被“伪证”思想所误导而得出真正的“伪证”。

在高中数学几何证明中，“伪证”思想的应用模式通常采取“三段式”，即假设问题结论成立，根据问题结论推导问题，得出结论。但是，在高中数学几何证明中，并不是所有的几何问题都可以根据“伪证”思想来得出答案，不能所有的数学几何证明都能够被“伪证”思想所证明。“伪证”思想是借用问题结论本身的错误，根据这个错误来对整个问题进行证明，在证明过程中，通过出现的矛盾来证实问题结论的错误，从而否定问题结论，重新求证问题结论。

二、高中数学几何证明中的“伪证”思想的方法分析

在高中数学几何证明中，“伪证”思想就是为了发现问题的错误，一般情况下通过检验问题结果、审查问题的解决过程、考虑问题存在的科学性三个方面来进行“伪证”。在高中数学几何证明中，“伪证”思想的常用方法主要要三种。

1.反例法

在高中数学几何证明中，通过对问题的证明做出相反的举例，以此证明该问题的正确性。如问题一：假设钝角三角形的三条边分别是X，X+1，X+2，求X的取值范围。按照一般的解法，可以假设最大边为X+2，其对角为A，则A肯定是钝角。根据余弦定理可以得出cosA=[X2+（X+1）2+（X+2）2]/[2X（X+1）]=（X-3）/2X﹤0，最后得出0﹤X﹤3。但是这种解法是错误的，应该从题目入手，假设X=1，则X+1=2，X+2=3，，但是“三角形任意两边之和大于第三边”，而题目没有满足这个条件，因此此题无解。

2.举例法

在问题解答中，通过问题本身的科学性，以反证举例来证明其错误存在。如问题二：假设X1，X2是方程X2-（sin（π/5））X+cos（π/5）=0的根，求arctgx1 +arctgx2的值。

按照一般的解法，通过tg（arctgx1+arctgx2）=（X1+X2）/（1-X1X2）= tg（2π）/5。由X1+X2=sinπ/5，X1X2=cosπ/5，可以得出X1﹥0，X2﹥0.所以0﹤arctgx1﹤π/2，0﹤arctgx2﹤π/2，arctgx1+arctgx2=（2π）/5。但是这没有考虑问题本身的科学性。事实上，根据△=（sin（π/5））2-4cos（π/5）=-（cos（π/5）+2）2+5﹤0，可以了解到此方程无实根，也即是说X1，X2是虚数，从而得出arctgx1 +arctgx2无意义，此题无解。

3.反证法

如果一个问题的解答或证明是伪解或伪证，那么解题的某些环节或问题本身必定有错误存在，因而也就有某种矛盾存在.用反证法揭示这样的矛盾就等于揭露了错误，实现了证伪。如问题三：假设A、B都是锐角，而且2/cosB=1/cos（B+A）+1/cos（B-A），求证cos B= cosA/2。在一般解法中，先对2/cosB=1/cos（B+A）+1/cos（B-A）变形，从而得到（1一cosA）cos2B）=1-cos2A，因为A、B都是锐角，所以1一cosA≠0，从而得出cos2 B=1+cosA，也就是cos2B=2 cos2（A/2），所以cos B= cosA/2。从问题的本身入手，用反证法啦证明结论之一cos B= cosA/2不成立。事实上，如果cos B= cosA/2成立，那么cos2 B=1+cosA一定会成立，由于A、B都是锐角，所以cos2 B﹤1，而1+cosA﹥1，所以cos2 B=1+cosA不成立。这说明cos B= cosA/2不成立是因为题目中A、B都是锐角，而且2/cosB=1/cos（B+A）+1/cos（B-A），这是错误的，是伪证。

在高中数学几何证明中，“伪证”思想可以激发学生的创新思想，加强学生对数学几何概念的认知。“伪证”思想加强学生对学习的理解，使学生加深对数学概念的认识，同样在证明其他问题时，不能够存在假性理解的现象，而必须要利用伪证思想来得出准确认知，避免出现认知偏差，影响学习结果。

参考文献

[1]杨惠然.高中数学推理与证明中的“伪证”思想[J].中国高新区，2018（01）：128.

[2]包晓兵.“证伪”思想在高中数学教学中的作用[J].理科考试研究，2015，22（23）：30