姚恒

[摘  要] 数学是具有思维深度的学科，对于高中数学教学而言，在数学概念的建构以及数学问题的解决过程中，无不体现出思维的深度.数学教师要抓住高中数学的学科特点，并从学生的认知特点出发，通过情境的创设，以及问题的提出，来让学生的思维更具深度.

[关键词] 高中数学;思维深度;课堂教学

数学是思维的学科，没有思维就无法支撑数学学习，尤其是对于高中数学而言，没有一定的思维深度，数学学习几乎是无法完成的. 从教学经验的角度来看，思维深度不只是一个概念，而应当是体现在学生的数学学习过程中，只有当思维的对象或者说是思维难度突破了学生原有的水平时，才谈得上思维最有深度. 很显然，对于高中数学教师而言，追求有思维深度的数学课堂教学，应当是一种职业自觉.正如有同行所说：在数学教学中展示数学思维过程，有利于引发学生数学思考，培养学生提出问题、解决问题的积极创造能力，激发学生的探索精神，走向“深度”的数学学习，多角度地促进学生思维的发展和智能水平的提高.

那么什么样的课堂教学才是有思维深度的教学呢？本文仅以高中数学为例，谈谈笔者自己的思考.

课堂教学思维深度首先体现在概念教学上

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解. 概念教学是高中数学教学的基础，教学应当追求一定的思维深度，基于一定思维深度的数学概念教学，一般来讲能够让学生对数学概念的掌握非常牢固. 当然，我们首先要思考的是怎样的概念教学才是有思维深度的概念教学. 笔者以为，在数学概念的建构过程中，如果能够让学生的第一个思维进入深加工的过程，那这样的概念教学就是有思维深度的概念教学.

以“函数的单调性”教学为例，在传统的数学教学过程中，我们可能会忽视一个问题，那就是函数的这种性质为什么会称之为函数的单调性？笔者在教学的过程中，结合某一个函数的定义域，让学生观察在这个定义域中，函数值会发生什么样的变化？结果学生发现在这个定义域范围之内，函数值的变化是单向的，也就是说其变化没有先怎么样再怎么样. 在这样的情景之下，笔者向学生询问，这样的变化是不是显得有点儿单调呢？在学生表示认可之后，笔者就说，这样的变化我们称之为单调性变化，而具体点儿说如果y随着x的增大而增大，那这个函数是单调增函数，反之就是单调减函数.

通常认为这样的教学过程可能没有什么思维深度，可是如果我们从学生的思维角度来看，稍有经验的老师都知道，学生在理解单调增或单调减的时候，对单调这个词儿的理解是有困难的.为什么叫单调增或单调减？其实就是指函数在一定的定义域范围之内，它的变化是唯一的. 这种基于数学概念的字面意义的理解通常容易为教师所忽视，可这恰恰是学生理解数学概念最基本的环节. 如果说在这个教学过程中体现了思维的深度，这个深度就体现在：学生将自己对数学概念的生活理解转化为数学理解的时候，需要将生活语言转化为数学语言. 可以这么讲，一个人能够熟练利用数学语言的学生，一定是最有思维深度的. 因为数学语言是抽象的语言，能够利用抽象的语言进行思考的学生，一定是具有思维深度的学生. 所以在数学概念的教学中，它可以通过学生对数学语言的掌握和利用情况来判断他的思维深度.

在数学问题解决过程中体现思维的深度

相对于数学概念教学而言，高中数学问题解决也是一个综合性更强的过程，之所以这么说，是因为在问题解决的过程中，除了要掌握数学概念之外，还需要用在数学学习的過程中形成的能力进行问题的解决，以及在新的情境中的迁移. 这对于大部分学生而言都是具有一定的挑战性的，因此也就体现出了思维的深度.正如有同行所指出的那样：数学是思维的体操，数学思维的深刻性是数学思维品质的基础，是数学观念、数学意识的集中反映. 数学思维的深刻性是指数学思维活动的抽象程度和概括水平，涉及思维活动的深度、广度和难度，它集中表现在对于数学问题的思考，能抓住问题的本质和规律，深入细致地加以分析和解决. 坦率地说，当前高中数学教学的现实中，还不大容易看得出学生的思维具有很强的深刻性，更多的时候，我们看到的是学生所形成的数学能力在比较熟悉的情境中能够得到应用. 而如果在这种情境的变化之后，学生的问题解决反而会有些阻碍. 这就意味着学生在高中数学的过程中，思维的深度还有比较大的提升空间，这个空间某种程度上讲也是教师的教学空间.

在“函数的单调性”教学中，可能很少人有将作为情境创设的材料作为一种能够贯穿一节课教学始终的素材.比如说一个地区的一段时间内的温度变化情况，其就是一个温度随着时间的变化而变化的图像，这个变化的过程中，能够体现出函数单调性的相关性质，尤其是在一段区间之内，函数值随着变量的变化而变化的情况. 这样的素材是不是只适用于课堂引入呢？答案是否定的.其实这个素材可以在学生已经建立了函数单调性的相关认识之后，继续作为问题解决的素材. 一个简单的问题是：一个函数在什么样的区间上具有什么样的单调性？这个问题可以说是一个相对具有普适性的问题，它可以针对不同情境的函数而提出. 譬如对用来创设问题情境的气候问题而言，就可以向学生提问：在什么样的范围内函数具有什么样的单调性？由于这个问题呼应了创设情境时所使用的素材，学生在进行问题解决的时候，反而有一种前后照应的感觉，也就是说，后面所学习的知识可以用来解决前面所遇到的问题，这样的心态是其他的教学设计所无法比拟的，教师在教学的过程中应当充分利用. 这个利用过程越充分，那问题解决过程中的思维深度体现就越充分.

数学课堂思维深度体现在师生合作过程中

需要指出的是，思维的深度不止体现在学生的思维过程中. 因为在高中数学学习的过程中，学生的思维受教师的影响. 影响学生的过程某种程度上讲就是一个师生合作的过程，师生合作越充分、越彻底，往往学生的思维就越有深度.

我们将学生思维的过程放在师生合作过程的视角之下，其实是想彰显学生在数学课堂上思维深度的价值，因为没有师生有效的合作，实际上是谈不上学生的思维深度的. 只有教师对学生的有效引导，学生的思维才有可能走向深入，这样的结论对课程改革中忽视教师作用的言论是一种纠正. 毕竟在学习的状态中，学生的思维不可能无据可依，只有教师有效引导，进而实现师生的高效合作，学生的思维才有可能具有深度.

以上是笔者对高中数学课堂思维深度的体现的一些浅显思考，不当之处敬请同行批评指正.