张莹莹

[摘  要] 本文阐述了加强高中数学知识联系的必要性，如何根据高中数学教学的内容特点及学生特点选取横向联系、纵向类比两种方式来加强知识联系，培养学生多方向的数学思维能力. 笔者针对两个平行班各自的特点，实施加强高中数学知识联系的一系列教学实践. 文中展示其中一课案例，并说明实施效果.

[关键词] 加强;知识联系;案例研究;横向联系;纵向类比

笔者曾经做过这样一个教学反馈测试：在学生学完高中数学人教A版必修1.2.2“同角三角函数的基本关系”一课后，隔一周后抽取三名由不同教师执教的数学基础相近的学生重做一遍课本第19页例6.学生丙由于先进行了角α情况的分析，所以能正确完成该题. 笔者结合三名教师的教学过程分析这三名学生的做题情况，得知三位数学教师都严格按照教材内容进行了授课. 学生甲的老师在学生初中所学的直角三角函数的基础上，引入任意角的三角函数后，经常以直角三角形为例，通过设边长向学生解析或求解任意角的三角函数值，于是学生便学会了用直角三角形为工具来解决此类问题;学生乙的老师推导了同角三角函数的基本关系后，讲解例6时虽然也强调了要先判断角α的情况，但是学生仅记得有两个公式可套用;学生丙的老师先让学生复习前面所学任意角的三角函数内容，突出通过三角函数值的符号判断角α的情况，再讲解例6，学生丙对要先判断角α的情况留下了较深刻的印象. 比较学生乙与学生丙，可以说明加强高中数学知识的联系可以让学生对所学的知识有清晰的认识和较持久的记忆;比较学生甲与学生丙，可以说明如何加强高中数学知识的联系也直接影响学生的数学思维及解决问题的方式.

加强高中数学知识联系的必要性

高中数学课程内容主要是选取了满足基本数学需求、能为学生进一步的学习提供必要数学准备的知识. 这些高中数学知识有的是初中数学知识的延伸与深化;有的是学生从未接触过的，是从多个领域的数学知识系统中抽出来的，显得比较零碎. 由于不注重知识间的联系，如果教师仅以章节为单位完成教学内容，学生往往以碎片化的形式将知识存储于脑中. 这样一来，学生容易忘记或混淆部分知识和题型，在解题过程中常常无法灵活运用知识，出现思路中断，不利于高中学生数学思维能力的培养. 笔者根据自身多年的教学经验，认为加强高中数学知识联系非常必要. 加强高中数学知识联系既能让学生在头脑中形成较完整的数学知识体系，又能提升其数学思维的能力.

加强高中数学知识联系应把握的两个原则

1. 教师应充分了解高中数学知识的来龙去脉

要加强高中数学知识的联系，需要数学教师充分了解高中数学知识的来龙去脉. 只有教师能清楚地梳理知识间的联系，才能清晰地抓住知识链，让数学知识以一环扣一环的方式紧凑出现，使学生在学习的过程中体会知识间的联系，逐步完善已有的知识网络结构，提高分析问题和解决问题的能力. 教师需要了解哪些高中数学知识是在学生已有知识的基础上进行延伸、拓展、深化而来的;哪些高中数学知识有相似的结论;哪些高中数学知识可以结合更多的数学知识进行理解……例如，高中数学人教A版必修4中任意角的概念就是在学生初中原有的角的概念的基础上，结合生活实例进行推广得到的;高中数学人教A版必修5中等差数列与等比数列有许多相似的结论;高中数学人教A版必修4中两角差的余弦定理可以结合三角函数线或向量的数量积进行推导.

2. 考虑高中学生心理特点及接受能力

心理学研究表明，学生是学习的主体，所有的新知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知结构中，才可能成为下一个有效的知识. 因此，教师必须转变角色，尊重学生的主体性，选择更适合学生的知识联系方式进行教学，使学习过程成为在教师指导下学生自动的建构过程. 实施加强高中数学知识联系教学，需要根据学生现有基础知识情况、接受能力、理解能力，兼顾培养学生发展的能力进行设计. 例如，对于面向大部分基础较弱的学生，可以考虑降低起点，设定符合学生认知规律的学习目标，渐近式向思维最近发展区域靠近;照顾学生的心理特点，从模仿到逐步发现、归纳，在教师的引导和启示下一步步地靠近目标，实现從初中知识到高中知识的顺利衔接;对于面向大部分能力较好的学生，可以基于学生原有的知识体验，设定有一定跨度的学习目标，引发适度的认知冲突，引导学生注意联系已有的知识尝试解决问题，从而发展学生的数学思维及提升解决问题的能力.

加强高中数学知识联系的方式及作用

客观世界的多样性、数学应用的广泛性决定了数学教材各部分联系的普遍性，决定了数学教材中进行纵向类比、横向联系的可能性和必要性. 根据教学内容，我们常常可以考虑横向联系设计，也可以考虑纵向类比设计，以培养学生多方向思维能力.

1. 横向联系方式加强高中数学知识联系，将知识串起来

以横向联系方式加强高中数学知识联系，可以将学生头脑中零散的知识串起来，形成知识链. 这种方式有助于学生加深对原有知识的理解，易于记忆新学的内容，形成较牢固的知识链;有助于使知识的重难点突出，提升大脑对知识信息提取速度;有助于增强学生充分运用丰富的知识分析问题的能力，提高学习效率. 例如，在学完高中数学人教A版两角和与差的正弦、余弦、正切公式后，采用横向联系方式可以让学生自己尝试推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，体验自主学习的快乐，同时也强化了原有知识和新知识的联系，增强了学生学习数学的信心.

2. 纵向类比方式加强高中数学知识联系，用已知的方法解决未知的问题

以纵向类比方式加强高中数学知识联系，旨在调动学生的一切背景知识，用以往的经验及所形成的数学知识体系，通过观察几个不同领域的知识系统彼此间某种结构的相似性，由已知的知识系统推导到欲知的知识系统，从而发现知识联系，更好地掌握知识体系. 首先，纵向类比方式能引导学生将过去的经验与概念建立关联，使学习变得有意义从而引起学习动机，激起学生学习数学的兴趣. 其次，它能促进学生以观察发现的姿态去学习，透过探寻相似性促进对抽象概念的了解，透过相似性达成知识转移，开启新的观点，使看似烦琐深奥的数学变得简明清晰，大大调动了学生的学习积极性. 再次，它能训练学生思维的灵活性. 面对形形色色的各类数学题，学生要调动已有的知识经验，推导知识体系，建立知识联系，在学习过程中增强解决问题的能力，还能让学生得到运用科学方法获取知识的成功体验，自主学习，促进知识能力持续发展. 例如，在高中数学人教A版必修5中，为了从量化的角度，研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和另两个角的问题，可以让学生联系已经学过的知识和方法，以纵向类比方式考虑到此问题主要涉及两边及其夹角，从而自然考虑到可以利用具有共性的向量的数量积来研究这个问题;考虑到涉及边长也可以尝试用解析几何中的两点间距离公式来研究这个问题.

案例及效果

笔者根据自身多年的教学经验，在高一选取了两个具有不同特点的平行班，实施了一个学期加强高中数学知识联系的教学研究. 现以高中数学人教A版必修5第三章3.2“一元二次不等式及其解法”（第1课时）为例，展示在实践中加强高中数学知识联系的案例及效果.

在该课的设计阶段，笔者通读全章节、参看教参，了解该课在整个章节中的地位、作用及教学目标、重点与难点，然后分析两个平行班学生的心理特点及接受能力. 平行班甲班（简称甲班）中大部分的学生数学基础比较弱，对于阶梯跨度较大的知识的理解明显跟不上，接受度比较低;平行班乙班（简称乙班）有较大部分数学思维能力较好的学生，这些学生的数学基础也相对甲班要好一些.

对于甲班，笔者考虑让学生以纵向类比的方式，“低起步”渐近式前进. 通过让学生类比初中所学的一元一次不等式解法，经历从模仿到逐步发现、归纳，在教师的引导和启示下，一步步地靠近目标，自然而然地从初中知识衔接到高中知识. 设定的过程与方法目标是：通过学生感兴趣的上网问题让他们比较两种不同的收费方式，并从中抽象出不等关系;引入一元二次不等式的有关概念;通过类比一元一次不等式的解法，让学生积极参与，亲身经历“三个二次”的关系，体会数形结合思想.

对于乙班，笔者考虑采取横向联系的方式寻求突破口，引发学生在解决问题时，自然而然地联想一元二次方程及一元二次函数，突出强调了数形结合思想，从而达到发展学生的数学思维及提升解决问题的能力. 设定的过程与方法目标是：通过学生感兴趣的上网问题让学生比较两种不同的收费方式，抽象出不等关系;引入一元二次不等式的有关概念;通过让学生积极参与观察、联想一元二次等式、一元二次函数探求一元二次不等式的解法，亲身经历“三个二次”的关系，体会数形结合思想.

1. 案例

以下是甲班的纵向类比方式与乙班的横向联系方式部分环节的比较：

2. 实施效果反馈

据听课教师反馈，教师认为两种高中数学知识联系方案都各有优势. 甲班的纵向类比方式与乙班的横向联系方式均强调了数形结合思想. 纵向类比方式更强调类比的数学思想. 学生在探究了由一元一次不等式的图像解法过程及解决步骤后，纵向类比了一元二次不等式的解法及解决步骤. 这让学生深刻体会到一元一次不等式图像解法与一元二次不等式的解法的联系、数形结合及类比思想. 学生运用类比较易探求一元二次不等式的解法，但思维量不大. 横向联系方式通过观察联想一元二次不等式、一元二次函数，更突出强调了数形结合思想，思维量较大. 部分教师认为纵向类比方式能照顾到数学基础较弱的学生，实现从初中知识到高中知识的衔接. 让学生先回顾从一元一次不等式的解法入手，去类比到一元二次不等式的解法较为容易，但由于初中学生最熟悉的是用代数解法解一元一次不等式，而极少用图像解法解一元一次不等式. 横向联系方式直接让学生联想，“形”上更接近一元二次不等式的相应一元二次方程、一元二次函数，比较符合高中数学解决问题的思维习惯，这种方式既容易为数学基础较好的学生接受，又有利于培养学生在解决问题时的分析、联想能力.

从学生课后测试反馈来看，两个平行班的学生均能较好掌握一元二次不等式的解法. 实施了纵向类比方式的甲班学生，普遍反映由于大家都比较熟悉一元一次不等式，因此感觉该课内容较容易理解. 学生课后印象更深的是一元一次不等式图像解法与一元二次不等式的解法的关系、数形结合及类比思想. 实施了横向联系方式的乙班学生课后印象更深的是一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数之间的关系、数形结合及联想、比较，在思维量上得到了較大训练.

总结

可见，实施了纵向类比方式的学生在学习该课中感觉较容易入手，在今后解决一元二次不等式问题中遇到困难时，会不自觉地联想到一元一次不等式的相关问题，从而试图通过类比去解决问题. 而实施了横向联系方式的学生则会联想相应的一元二次方程及一元二次函数寻求突破. 笔者认为，可以先根据学生情况选择以其中一种方式为主，以另一种方式为辅的形式加强高中数学知识的联系. 例如，可以在实施纵向类比方式的甲班里，引导较好的学生课后继续探究一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数的关系，也可以在横向联系方式的乙班里，布置学生课后类比一元一次不等式、一元二次不等式的解法，找出相似的地方.

由于高中数学知识容量大、涉及领域广，采用纵向类比方式可以让学生学会运用已有的知识解决未知的问题，采用横向联系方式可以让学生形成知识链. 两种方式各有优势，可以将两种方式合理地结合起来，培养学生多方向思考问题的能力，使学生建立更为立体的高中数学知识体系，提高学生分析问题和解决问题的能力.