朱爱红

[摘 要] 高中数学教学中，向学生提供什么样的学习材料，直接决定了学生的学习是否有效. 研究表明，学习材料的难易程度与学习有效性直接相关，而难易程度的判定又需要根据学生的学习过程与结果来判断，这就为教师的教学经验积累提供了可能.

[关键词] 高中数学；学习材料；难易程度；有效性

在教学中向学生提供学习材料，是教师教学最基本的任务. 高中数学教学中，向学生提供的学习材料最主要都是来自于教材以及教学参考书，其是在教师教学经验加工的基础上，结合阶段性考试或高考的需要，进而成为“适合学生”学习的. 这里之所以对“适合学习”加上引号，是因为这里判断的“适合”其实是教师的一种主观判断，即使教师不认为自己是主观判断，而认为是结合学生学习需要的判断，这实际上依然是一种主观性极强的判断. 因为当离开了学生学习的具体过程时，所有的判断都难免带有主观性，因此是不是真正适合学生的学习需要，也就值得研究了. 本文尝试就高中数学教学中学习材料的有效提供，谈谈笔者的浅显观点.

由于学习材料的提供是一个非常宏大的问题，对学习材料的判断也可以多重视角，因而试图通过一篇文章来面面俱到地阐述，其难度是非常大的. 因此，笔者从最容易理解的角度入手，这个角度就是“学习材料阅读的难易程度”.毫无疑问，学生接触到教师的学习材料之后，会有难易的判断，这是一种直觉性的判断，而且这种判断将影响着学生的学习结果，因此从这个角度研究高中数学教学的有效性，应当说是非常恰当的. 因为数学尽管是一门理性学科，但对学习材料的阅读却是无法回避的——对学习材料阅读原本就是数学学习的重要方式.当然必须指明的是，这里所说的阅读，既有直接的文字或图形的阅读，也有对教师通过教学语言转述的学习材料的阅读.

学习材料的难易判断

难易是学生面对学习材料的最直觉的判断，是难还是易取决于学生对学习材料的加工程度，也决定着学生有效学习的基础. 这里通过一个例子来详细说明：

在“圆锥曲线”这一章的“椭圆”这一知识的教学中，常规的教学（也就是日常课，考虑到教学的实际需要，本文所选择的事例均来自于日常的课堂观察及反思）中，教师一般会通过教学语言或现代教学手段向学生呈现类似于教材上所提供的材料：你认为油罐车的油罐其横截面的形状最接近于什么曲线？之所以将课本上的素材以这样的问题形式提出，是考虑到问题更容易驱动学生思维，而且在学生的生活中，是有观察油罐车的经验的，其也是能够迅速地做出“椭圆”的判断的. 因此从材料难易的角度来看，这一问题（当然也是学习材料）是既简洁又简单的. 但是，这个学习材料的“易”只是表面上的易，因为此时只需要学生做出猜想，而既然是猜想，就是不需要理论证实的，只需要经验加工即可. 同时，这种“易”的感觉还更容易将学生带入学习的情境，从而为有效学习打下基础.

其后跟进的学习材料则可以让学生更清晰地产生难易感觉，如笔者就是用PPT呈现的问题：是不是被压扁的圆就一定是椭圆？如何根据方程去研究椭圆？这两个问题就不是凭经验所能够回答的了，很显然，这个时候不同学生会有不同的感觉：数学基础较好的，往往能够结合此前所学过的相关知识去猜想，如根据此前形成的“在同一平面内，到两定点距离为定值的点的集合为椭圆”的理解，试图将这一定义变成表达式，然后去进行进一步的推理.尽管在短时间内这些基础较好的学生无法得出最终的椭圆标准方程，但这个方向毕竟是正确的，因而这些学生此时的学习感觉往往是“有把握的”，也就是“易”的；而另一部分学生的学习心理更是这样的：被压扁的圆是不是椭圆不知道，但可以肯定不是圆，难道还有既不是圆又不是椭圆的图形……也应该有，因为圆是可以随便压的……那么椭圆必须是什么样的呢？……这段话是笔者在教学之前随机从中等生及学困生抽出的几个学生，进行简单调查时的结果，这说明他们在面对这个问题时实际上是感觉到“难”的，因而他们基于这个问题对椭圆的标准方程探究就是困难的.

那么，探究学习材料的难易程度有什么意义呢？答案很简单，因为这与学生学习过程是否有效有关. 近年来，在学习心理领域，有不少专家在研究学生学习有效性的时候，都将学习材料的难易程度当成研究的重要对象，而且更有人指出，即使同一个教学内容，即使用不同大小的字体呈现，学生的学习结果也会有很大的不同，这使得学习材料的难易程度从内容层面的研究拓展到形式的研究，尽管这一研究不在本文的重点叙述范围内，但已经能够说明学习材料的难易程度对学生学习的有效性有着明显的影响.

学习材料的有效提供

那么，什么样的难易程度的学习材料的提供才是有效的呢？从经验的角度来看，学习材料的难易程度对有效學习与否的影响，显然不是学习材料越难，学生学习越有效. 那是不是学习材料越容易，学生的学习就越有效呢？答案也并非那么简单.

一则学习材料的提供能够在多大程度上促进学生的学习，关键取决于学生对学习材料的加工情况，而学习材料的难易程度，首先影响的是学生对学习材料的态度. 研究表明，适当难度的学习材料的提供，更加容易将学生的注意力集中到学习本身.仍然以“椭圆”的教学为例，在上面所提供的第二个学习材料（问题）进行分析时，笔者发现其难度对于大多数学生来说都不是太恰当的，因此学优生尽管能够发现问题解决的方向，却难以得到结果；而中等生与学困生则更是难以根据该问题寻找到判断的思路. 于是笔者对该材料进行了改编（向学生提供一段文字，并辅之以问题来驱动学生的思考）：第一张幻灯片：椭圆是圆锥曲线中的一个重要的曲线，一个看起来像椭圆的扁圆是不是真正的椭圆，要看其是否符合椭圆的特征.那么，你知道的椭圆的特征有哪些呢？待学生思考之后再呈现第二个幻灯片：椭圆在生活中有着不少奇特的现象！链接教材上“圆锥曲线的光学性质”（意大利西西里岛上的故事）……；在学生完成这两则学习材料的信息的输入之后，教师再给出问题：判断一个曲线是不是椭圆，数学上常常有一个“标准方程”，这是数学上常用的以“数”描述“形”的方法，也是数形结合重要思想的体现，现在我们面临的任务就是来探究椭圆的标准方程. 那么，我们的探究从哪里入手呢？endprint

在上面两张幻灯片上学习材料的刺激之下，在新的问题的驱动之下，学生的思维从感性趋向了理性，从形转向了数.而这个时候学生大脑中关于椭圆的数学理解，就只有此前的定义，而这个定义也将成为走向标准方程的重要入口.

事实证明，在上面学习材料的刺激之下，绝大多数学生探究椭圆标准方程的过程更加顺利，而在课后笔者进行的调查中，三个层次的学生普遍反映：这样的学习过程感觉还是比较“顺”的.顺，说明了什么？说明了学生的思维比较顺利（并不意味着探究的过程中遇不到问题，而是指即使遇到问题，在解决问题方向的判断与解决问题的工具选择上也不会有太多的困难，如将椭圆的定义转换成方程，对方程进行移项、平方、再平方等处理），而思维的顺利其实归根结底是由学习材料的难易程度来决定的，因为材料难易适中，因此学生容易更好地占有学习材料，也因而可以对学习材料并基于学习材料进行有效的思维加工.

很显然，这里必须对“难易适中”做出更有效的界定. 尽管笔者并未寻找到精确的描述，但从相关的心理学研究结论，以及笔者相关的教学实践经验来看，所谓的“难易适中”，应当是学生在看到相应的学习材料的时候，感觉到材料描述本身通俗易懂——材料最好由生活语言来描述，而在教师问题的驱动之下，又会发现材料背后有着丰富的数学含义——学生可以将生活语言组织的材料转换成数学语言的理解. 有了这样的转换之后，学习材料应当还能够促进学生进一步的数学思考，以将学生引入数学要领构建或数学問题探究的境界. 如上面的例子中，在对生活中椭圆的理解基础上提出如何精确地界定椭圆的问题，就有这样的效果.

寻找有效的教学视角

无论是教学视角下对有效教学的探讨，还是宏观视界下对学生数学学科核心素养的研究，最根本的落脚点就是教学视角的有效性. 而教学视角的有效性，归根到底又要落到教学的细节上.

研究学习材料的难易程度，在笔者看来是一个非常可靠的教学视角，一方面学习材料的提供原本就是教学过程中最常见的事情，以至于很多时候我们往往忽视对其难易程度的判断，忽视了对其有效性的研究，而事实上学习材料是学生学习接触得最直接的对象之一，其直接影响着学生的学习结果.

笔者基于自身的教学直觉，基于在理论学习中偶遇的教育专家对学习材料的研究，做出了文中所述的一些探究，自认为是一个比较有效的教学视角.当然，由于能力所限，文中也会存在一些不当之处，还请专家同行批评指正.endprint