胡永斌

【摘要】数学离不开解题，解题应追求解法自然，然而，对于同一道题，往往因为一个人的知识结构、思维习惯和数学活动经验的不同，会形成不同的解法，但无论哪一种解法，都是人的一种思维自然生成的过程.在数学例题、习题教学中，我们要重视解题过程中数学思维能力的训练与培养.

【关键词】解题；自然；思维能力；培养

一、题目再现

在学习人教版“24.1.4圆周角”后，对教材安排的例4的教学进行了反思，题目及教材解答摘录如下：

例 如图1，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长.

图1

图2

解 如图2，连接OD.

∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中，BC=AB2-AC2=102-62=8（cm）.∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD.在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD=BD=22AB=22×10=52（cm）.

二、解法研究——對求AD，BD的长的方法做一探讨

解法1 利用圆周角定理，同圆中圆心角、弦之间的关系定理以及勾股定理求解.

反思 这是教材中给出的解法.此方法为求AD，BD的长，作了辅助线（连接OD）.其意图是构造圆心角∠AOD和∠BOD，利用圆周角定理证明∠AOD=∠BOD，进而利用同圆中圆心角、弦之间的关系定理得出AD=BD，最后在Rt△ADB中利用勾股定理求解AD，BD的长.教材意图是为运用圆周角定理，因而添加辅助线，在初中数学的学习中，几何的证明和计算难点就在辅助线，加之运用定理多，综合性强，增加了难度.我在教学中帮助学生小结了圆中添加辅助线的一般规律，克服学生添加辅助线的盲目性.

解法2 利用圆周角定理及推论、勾股定理求解，如图2，连接OD（过程略）.

反思 在学完教材解法之后，我提出有无其他解法时，学生经过小组合作交流，小组展示时的解法与教材解法相比，运用了圆周角定理的推论，而没有用同圆中圆心角、弦之间的关系定理，求解AD，BD的长是在Rt△AOD和Rt△BOD中，学生是发现了∠ACB=90°，∠BAD=∠BCD=45°，所以AD=BD=2OA=2×5=52（cm）.学生虽然没有综合运用以前学过的知识，但较熟练地运用了本节重点.由于教材中作出了辅助线，学生思考的空间被限制了.

解法3 利用圆周角定理的推论及勾股定理求解.

如图1，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD.又∵∠ACD=∠ABD，∠BCD=∠BAD，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD.∵AB是直径，∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，∴AD=BD=22AB=22×10=52（cm）.

反思 在解法2之后，学生沉思片刻，面无表情之时，我突然发问：“求解AD，BD的长不作辅助线能行吗？”一语惊醒梦中人.教室里“哗”的一声，小组又开始忙活了，两分钟左右，各组踊跃发言.解法3就是学生想到的解法.相比之下，解法3简洁、自然，更贴近学生的最近发展区，更容易让学生接受，也没有让学生头疼的辅助线.

三、解后反思

（一）解法力求自然

笔者以为，所谓自然解法即指不勉强、不呆板的方法.解法1虽然学生可以接受，但给人勉强、呆板之感；解法2麻烦；解法3很自然.学生一拿到题，其实并不该急忙去找辅助线，何况作辅助线是几何学习中的一大难点，对能力差的学生来说更难，因为这对概念、定理的掌握程度，学生的数学基本素养要求较高.

（二）通过小结与反思学习解题

美国教育心理学家波斯纳说：“没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能是肤浅的知识.”因此，他提出了教师成长的公式：成长=经验+反思.这节课中例题的教学，笔者就是根据以前的教学经验，重新解读教材，设计学生自主探索、合作交流、教师引导点拨的教学方式，教学过程中进行反思，达到了预设与生成共有的效果.

反思是一种有益的思维活动和再学习方式，课堂中教师引导学生小结与反思，使学生既巩固了基础知识与技能，又熟悉了数学基本活动经验，进而开拓思路，提高自己的分析问题、解决问题的能力，掌握一般的解题规律.

（三）注重一题多解，切忌贪多求快

一题多解就是针对一道题目，能够有多种解决的方法.它不但能够开拓思维的广度和深度，而且能够锻炼思维的敏捷性，使学生能够找到多方面知识的内在联系，在提高解题能力的同时，又能让学生感觉到数学的整体性，帮助学生整合所学知识，达到触类旁通.

在教学交流中，常听到有教师抱怨，这个知识点或这道题都讲过几遍了，学生还是不会.造成教学低效的根本原因是教学过程没有触动学生的思维，没有让学生参与到解题思维的过程中去，学生缺少基本活动经验和缺乏基本数学思想，缺少对题目多种解法的探究与反思.当然，与许多教师热衷追求课堂的高密度、大容量、快节奏有一定关系.其实，教师应给学生足够的时间理解题目和自主思考，给学生充分的时间总结和反思，看似耽误一些时间，其实能够提高解题效率.