鲍慧

【摘要】在数学课堂教学中，积极采用“问题串”教学法，对提高课堂教学效率和质量，提升学生的综合学习能力，具有极为重大且现实的意义.笔者结合自身的教学实践，就如何具体应用“问题串”，提出几点意见，仅供参考.

【关键词】高中数学；问题串；思考

爱因斯坦说过：“问题是数学的心脏.”在课堂教学过程中，问题是促进师生互动交流，实现教学目标的一个重要载体.科学合理的问题串，是提升课堂效率与质量的有效手段，在高中数学课堂教学过程中，积极采取问题串教学法，有助于课堂教学有效性、学生思维能力和独立思考能力的培养.所谓问题串教学，就是指在教学过程中，教师结合教学内容，围绕一定的目标和某个中心问题，根据学生学习的心理特点、认知水平、思维方式以及知识点的层层深入，设计不同的问题，并按照一定的邏辑结构将其有序地组合起来，形成一个完整的系列，以正确引导学生探索知识，启发学生积极思维.“问题串”是支持教师教学过程和学生学习过程的一个重要工具，有利于将知识点由简单引向复杂，有利于将学生的错误回答或理解引向正确，并积极地参与学习活动.

一、问题串教学要突出“概念的内涵和外延”

概念是每个课程都必须学习的知识点，但是数学概念的学习十分枯燥而且难懂，这就需要设置问题串，帮助学生更好地学习数学概念.在引入概念后，针对概念的内涵和外延巧设问题串，启发学生思维，通过对这些问题的思考与讨论，深化数学概念，从而加强学生对数学概念的理解和认识.

案例1 在学习双曲线的定义时，教师可根据“平面内与定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫作双曲线”这一基本定义，即

||MF1|-|MF2||=2a（2a<|F1F2|）.

设计下列问题串：

问题1：若将定义中的“2a<|F1F2|”改为“2a=|F1F2|”，其余保持不变，那么动点的轨迹是什么？

问题2：若将定义中的“2a<|F1F2|”改为“2a>|F1F2|”，其余保持不变，那么动点的轨迹是什么？

问题3：若定义中的常数2a=0，其余保持不变，那么动点的轨迹是什么？

问题4：若去掉定义中的条件“小于|F1F2|”，其余保持不变，那么动点的轨迹是什么？

问题5：若去掉绝对值，其余仍保持不变，那么动点的轨迹是什么？

通过设置这样的问题串，引导学生思考、讨论、分析、深化对双曲线概念的理解，把握双曲线概念的内涵，掌握双曲线概念的本质属性，进而实现知识的自主构建.

二、问题串教学要突出“教材的本源作用”

对教师和学生来说，教材具有权威性、示范性和完美性的特点.结合教材习题进行问题串教学，有本有源，学生感到亲近，师生容易沟通，既能充分发挥教材载体的优势作用，又符合新课程强调“用教材教”创造性地使用教材的理念.

案例2 用多种方法在同一直角坐标系中，画出函数y=sinx，x∈[0，2π]的图像.（人教A版数学必修4第34页习题第1题）

设计下列问题串：

问题1：请用“五点法”画出y=2+sinx，x∈[0，2π]及y=sinx-π6，x∈[0，2π]的图像.

问题2：观察以上三个图像，说说它们的共同点与不同点.

问题3：由此你能得出什么样的普遍规律？

问题4：你能通过图形变换的方法，根据y=sinx，x∈[0，2π]的图像画出另外两个函数的图像吗？

问题5：试写出几个函数值加减图像上下移动，自变量加减图像左右移动的函数式，并根据y=sinx，x∈[0，2π]的图像画出你写出的函数的图像.

通过这样的问题串，学生就不难发现规律，不仅让学生在教师的循循善诱中顺利渡过难关，由浅入深地逐步掌握解决问题的方法和策略，而且还可以激活学生的思维，调动学生学习的积极性和主动性.

三、问题串教学要贴近学生的“最近发展区”

新课程标准提出“生本课堂”的教学理念，即要求我们的数学课堂一定要以学生的发展为本.而实现这一目的，就要求我们的数学教学必须设计贴近学生的基础、贴近学生的年龄特征、贴近学生的思维状况.问题串教学便是如此，在学生知识和思维的最近发展区就题目进行变式，否则问题串教学就失去了意义，反而容易造成学生处处碰壁，产生为难情绪.

案例3 在数学必修5第二章“数列”第四节“等比数列”中，为了配合教材中的例4给出了如下问题：当数列{an}，{bn}是项数相同的两个等比数列时，数列{pan+qbn}（其中p，q是常数）也是等比数列吗？

教材中的例4所给的数列{an}，{bn}是等比数列，讨论的是{an·bn}是否构成等比数列.为了配合这个例题提出了上面的问题，其目的是通过类比让学生进一步认识到这两个数列各自的特点与性质.为了让学生更清楚地认识到两个特殊数列的区别，设计如下问题串：

问题1：当数列{an}，{bn}是项数相同的两个等比数列时，数列anbn是等比数列吗？

问题2：当数列{an}，{bn}是项数相同的两个等差数列时，数列{an·bn}也是等差数列吗？

问题3：当数列{an}，{bn}是项数相同的两个等差数列时，数列anbn是等差数列吗？

问题4：当数列{an}，{bn}是项数相同的两个等差数列时，数列{pan+qbn}（其中p，q是常数）也是等差数列吗？

问题5：当数列{an}是等比数列时，数列{an+an+r}（其中r是非负整数）是等比数列吗？

问题6：当数列{an}是等比数列时，是否存在常数λ，使得数列{an+λan+1}为等比数列？若存在，求出λ的范围；若不存在，请说明理由.

问题7：当数列{an}是等差数列时，数列{an+an+r}（其中r是非负整数）是等差数列吗？

问题8：当数列{an}是等差数列时，是否存在常数λ，使得数列{an+λan+1}为等差数列？若存在，求出λ的范围；若不存在，请说明理由.

向学生提出上述问题串，促使学生站在不同的角度对问题进行审视与思考，然后通过仔细的观察、分析、归纳总结等，进而渐渐发现等差数列、等比数列的区别以及各自的特点.

四、问题串教学要突出“思维的阶梯式发展”

问题串教学的目的之一就是训练思维、提升能力，帮助学生登高望远，这就要求问题串必须有一定的“思维梯度”，否则学生只能在原有水平徘徊，进行无休止的机械训练，永远也无法一览众山.

案例4 若正数x，y满足2x+y=1，求1x+1y的最小值.

问题1：若正数x，y满足2x+y=2，求1x+2y的最小值.

问题2：若正数x，y满足1x+2y=2，求2x+y的最小值.

问题3：若正数x，y满足y+2x=2xy，求2x+y的最小值.

问题4：若正数x，y满足x+y+1x+9y=17，求x+y的最大值.

问题5：已知正数x，y满足x+2y=3，求1x+1+12y+2的最小值.

问题6：已知正数x，y满足x+2y=3，求1x+1+22y+2的最小值.

问题7：已知正数x，y满足x+y≤2，求2x+3y+1x-y的最小值.

问题8：若x>0，y>0，且12x+y+1y+1=2，求x+2y的最小值.

问题9：已知正数x，y满足1x+1y=1，求3xx-1+9yy-1的最小值.

问题10：设x，y是正实数且满足x+y=1，求x2x+1+y2y+2的最小值.

解析：因为1x+1y=1x+1y（2x+y）=3+yx+2xy≥3+22，等号成立时yx=2xy，结合2x+y=1可以求出x，y（以下问题剖析时不再说明等号成立的条件）.下面问题组着重强化此类问题的常规解法，简单地说就是“乘常数，除以常数”，这种“代数式的变形”为利用基本不等式解决问题提供了氛围.问题1强化方法的运用；问题2尽管条件和结论对调了位置，但解决的方法不变；问题3中的y+2x=2xy可变形为1x+2y=2，回归问题2；问题4的突破口是由常规解法可知1x+9y（x+y）的范围可求，可将条件两边同乘（x+y）即得；问题5思维层次在上升，关键是根据分母特征构造新常数（x+1）+（2y+2）=6，则1x+1+12y+2=161x+1+12y+2[（x+1）+（2y+2）]，展开可求；问题6仿问题5；问题7中观察分母（x+3y）+（x-y）=2（x+y）≤4与常数有关，则

2x+3y+1x-y=12（x+y）·2x+3y+1x-y·[（x+3y）+（x-y）]

≥12（x+y）·（3+22）≥3+224；问题8由以上问题的“发现构造常数”转型为“寻找条件与结论的隐含关系”，转化为求（2x+y）+3（y+1）=2（x+2y）+3的范围，回归问题2；问题9将3xx-1+9yy-1，变形为31-1x+91-1y，发现分母之和为常数1，仿问题1；问题10中将x2x+1+y2y+2分离常数，变形得（y+2）+（x+1）+4y+2+1x+1-6=4y+2+1x+1-2，观察其分母之和为常数.

以上问题实现了思维能力的三次飞跃：从“乘常数，除以常数”的常规解法，到“发现构造新常数”，再到“代数式的变形后观察新常数”.立足点在“常数”的运用上，突破点在“代数式”的变形上；结合点在“变形后条件和结论关系”的观察上；制高点在“变形后因果关系”的形式，使本质的东西更全面，使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，比较全面地观察问题，寻求事物之间的联系，从而理解问题的本质.

【参考文献】

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[3]庄志刚.合理设置激发思维——例谈“问题串”在数学教学中的设置[J].中学数学杂志（高中版），2014（05）：7-9.

[4]诸婵婷.高中數学课堂问题串教学模式探究[J].上海中学数学，2012（11）：17-18.