沙涓

[摘要]高中数学教学要走出传统思路，要基于学生的理解去实施教学。实践表明，数学理解性学习的过程，就是学生的原有生活或学习经验。与新学习的数学知识之间的互动过程。两者之间的互相转换。促进了理解性学习的真正发生。

[关键词]高中数学：理解性学习：教学实践

很长时间以来，高中数学教学都强调理解教学。在建立了以生为本的教学理念之后。理解性教学又转变成理解性学习。这样的转变不只是字面上的变化。而是强调从学生学习的角度去建立对学习的理解。强调学生在理解的基础上实施有效学习。概念是数学的基础。概念是数学知识构建的重要基石。而从概念构建的角度来看。概念本身又是理解学习的产物。是学生关于某个数学观念的浓缩。因此对概念实施理解性教学。以让学生生成理解性学习。也是有效概念教学的应有之义。本文以高中数学的概念教学为例。谈谈理解性学习的有效实施路径。以及在此过程中的一些思考。

高中数学概念理解性学习的现状

要研究理解性学习，需要对理解性学习作一个界定。一般认为。理解性学习就是建立在数学理解基础上的学习过程。而所谓数学理解。就是运用数学思维对数学课堂上的学习对象进行有效的加工，并通过数学语言描述学习结果的过程。如一个基本的数学概念。其就是学生借助于数学思维。对相关的研究对象进行抽象、归纳的结果。高中数学学习的第一个概念就是“集合”。这个概念具有生活意义。但完全基于生活理解又无法真正形成对集合概念的理解。由此。基于生活理解走向数学理解。就成为理解性学习在集合概念学习中的关键。

这里不妨先扫描一下传统概念教学中的现状。看看其中有哪些是理解性学习的因素。而哪些不是。通过总结可以发现。传统概念教学中。更多的是通过示例（如教材中读书的学校与现在的班级，以及家庭成员的组成等）的分析，来让学生结合生活经验理解集合。然后给出集合的定义——一般地。一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合：集合中的每一个对象称为该集合的元素。简称元。非理解性学习的教学思路中。前者会必然导致后者。也就是说前者呈现与后者之间是没有距离的。但这样的教学会导致学生认知的困难。尤其是部分学困生对此会形成认知障碍。主要原因就在于呈现生活整合的时候。没有从集合本质上去对事例进行分析。而这可能是数学概念教学的一种常态。这种常态背后的思想体现了教师教学的线性思维。认为学生在生活经验或原有经验的基础上。是可以直接向所需要学习的新概念转化的。而事实说明并非如此。

应当说这样的教学现状还是值得认真思考的。思考的线索就是理解性学习的开展。事实上。在上面的实例中。如果从理解性学习的角度来看。就存在一个生活理解走向数学理解的过程。这个过程也是体现理解性学习的关键。集合概念中的“确定的”“不同的对象的”“全体”是三个关键词。基于生活实例去理解這三个关键词。是理解性学习实现的关键。

基于理解性学习的概念教学实践

由上面的分析实际上可以发现。基于理解性学习的思路去实施数学概念的教学。关键在于对学生认知基础的准确分析与把握。在于对新概念构建所需要的条件的精确分析与判断。以及对学生在概念构建过程中的认知心理发展的控制。

这里先看刚才所举的“集合”概念的教学。学生在生活中肯定是有集合概念的。这种概念在学生的大脑中是粗糙的。与集合的数学定义是存在距离的。笔者在教学中先花三到五分钟时间研究了生活中集合的概念理解。学生所说的理解常常是：集合就是将一些物体集中起来：集合就是全体人员在一起：集合就是一个群体在一起……这样的理解对数学集合概念的形成有什么好处？在笔者看来。就是集合概念的一种生活语言的表达。是集合概念的雏形。随后要做的。就是让学生学会用数学语言来描述生活经验。于是下一步的教学任务。就是瞄准“确定的”“不同的对象的”“全体”的数学语言去寻求思维距离上的靠近。

在实际教学中。也就是几分钟的时间。这几分钟的时间里。生活语言中的人、物变成了数学语言中的“对象”。“对象的全体”变成了“集合”。“集合”要求是“确定的、不同的对象”。在此基础上。通过变式的例子来巩固对集合的认识依然是必要的，因此“中国的直辖市”与“北京、上海、天津、重庆”之间就形成了基于数学语言的集体认知。也就是说自从学了集合概念之后。学生在理解集合概念的时候。就不再以生活语言为思维加工的工具了。而是以数学语言作为思维加工的工具。其后。从集合的定义再走向集合的表示，这里需要渗透“数学是最简洁的语言”，因此当自然数集记作N，整数集记作Z，有理数记作Q，实数集记作R时。学生思维中形成的就是这些符号与所理解的自然数、整数、有理数、实数的关系此时。符号成为代表集合的最简洁的语言。

在上述过程中，学生的思维不断地从生活经验的加工走向数学语言。这就是一个理解性的过程。这个过程的学习自然也就是理解性学习。

又如函数概念的教学。学生对函数的生活经验是极为缺乏的。有的只是此前初中学习函数形成的认识。但是初中阶段的函数理解与高中阶段所需要的基于集合对对应法则的函数概念的理解完全不同，因此这里要发生理解性学习就变得相当的困难。于是教学可以这样设计：首先。在实例分析中寻找两个变量的对应法则：其次。将对应法则用数学语言进行捕述其中。第一步是关键。因为从思维方法的角度来看。这里有对不同事例的分析。有分析之后的综合。有对“一个变量取确定值后另一个变量随之唯一确定”的认识。以及不同事例中同一认识的重复。在这一步。帮学生形成一定的经验是根本。这种经验来自于教师引导学生自己分析。是间接经验。此间接经验能否有效形成。是理解性学习能否发生的关键。待此经验形成之后。再用数学语言来捕述这样的概念。这个过程与上面集合概念的形成相似。此处就不赘述了。

真正的概念理解对学生意味什么

通过以上教学实例的分析。笔者强烈地认为。所谓的理解性学习。其关键就在于学生在数学课堂上思维从生活向数学的过渡。这个过渡的过程。就是理解性学习存在的过程。也就是说。所谓的理解。应当有着生活和数学两者之间相互转换的理解。当学生有丰富的生活经验的时候。需要引导其用数学语言来捕述这种经验：当学生形成了数学语言之后。要引导学生用数学语言去捕述其他的生活实例。只要这样的双向转换能够顺利进行。那学生的学习就是理解性学习。

进一步的研究表明。理解性学习分为三个方面：一是记忆性理解：二是阐释性理解：三是探究性理解。这三个方面实际上对应着传统教学思维中的程序性知识与陈述性知识。其中。后者是传统数学教学的重点。而前者则由于难以直接考查且并不像记忆性知识那样容易形成直接学习效果。因而不容易受到教师的重视。但事实上。学生的理解性学习恰恰是与更为重要的探究性理解相关的。高中数学教学中。最有意义的理解性学习应当据此展开。

理解性学习对于学生来说。最大的价值就在于开启学生的数学思维。让学生从机械的知识学习转移到聪慧的有意义的学习过程中来。进一步的研究表明。理解性学习在高中数学教学中的运用。还需要根据学生自身的特征去实施。有充分的依据表明，高中数学学习中。学生的性别对理解性学习有着直接的影响。相对而言。女生更偏重于记忆性理解。而男生更喜欢探究性理解。这又意味着什么呢？在笔者看来。可能更多的还是意味着要因材施教。就是要根据学生的性别差异。在具体的概念构建中让不同性别的学生以不同的方式来实现理解性学习。但这又不是绝对的。因为笔者发现在实际教学中。如果对于不同性别的学生提出另一种理解性学习的要求。有的时候也能激活他們挑战不可能的一面。如女生就是敢于去实施探究式的理解性学习。而男生就愿意在记忆的方面花时间。总之，理解性学习不能执行得过于机械，因材、因势、因时选择不同的理解教学方式。可以促进学生理解性学习的高效形成。

理解性学习需要重视学生的视角

理解性学习最终是属于学生的。因此研究理解性学习需要建立学生的视角。高中学生在数学学习的过程中。会有相当充分的思维表现。这种表现对于教师的研究来说。非常有价值。笔者通过总结。形成如下三点认识：

第一。学生视角下的理解性学习。首先意味着减轻学习负担。这里所说的负担。主要是指思维上的负担。也就是在学习的过程中不再出现生涩难懂的内容。在思维建构的时候。虽然有挑战。但是通过自己的努力总是能够克服的。这非常接近于“最近发展区”的理论观点。而这样的认知对于学生来说。确实也是重要的思维基础。

第二，学生视角下的理解性学习，是对数学本质的有效把握。很多时候，学生其实并不知道什么是真正的数学学习。这对于高中学生来说无疑是悲哀的。数学呈现在学生面前的。应当是其理性、智慧的一面。任何一个数学概念的构建。任何一个数学规律的得出，都应当是理解基础上的产物。认识到这一点。数学学习才会从机械的习题训练中走出来，从而真正成为开启学生思维的一个重要途径。

综上所述。高中数学要积极开展理解性学习。这样才能彰显数学学科的真实含义。