廖双平

[摘要]高中数学教学中关于数学文化的研究有很多，数学文化渗入数学课堂更多的是借助于数学史中的数学故事来进行的。这样的渗透方式不具有深刻性。研究表明。基于数学文化的脉络去寻找数学故事背后的。能够驱动学生思维的数学研究思路与数学思想。更能够对数学教学起到推动作用。寻找数学文化脉络的研究需要理清数学教学背景下的数学文化特点。需要基于数学实践。需要思考数学文化发生作用的机制。

[关键词]高中数学：数学文化：数学教学

高中数学教学不能成为纯粹的应试教学。这样的判断深入人心但实施起来又特别困难。个中原因相信每一位高中数学同行都十分清楚。可以肯定的是。纯粹的应试对学生及教师的影响都是十分巨大的。除了早已诟病的“高分低能”之外。教师自身的专业成长也有可能被束缚在无穷无尽的题海当中。那么有没有可能在学生的应试压力之下寻找出有效的突破之道呢？笔者以为。在当前的形势之下。在培养学生的数学知识构建与解题能力的过程中。渗透数学文化是一条值得尝试的途径。

笔者注意到。数学文化实际上已经成为当前中国基础数学教育的一个研究热点。在高中数学课堂上无论数学文化的影子明显与否。在不同层级的数学教学研讨活动中。数学文化已然是一个热词。借着这样的东风。普通一线数学教师在课堂上引入数学文化。应当说有其必要性。也有其必然性。更重要的是。“以文化为视角。在人类文化发展的历史过程中审视和理解数学”。也可以有效地提高高中学生对数学的理解。进而提升学生的数学素养。这对于引导学生学会用数学的视野看待事物、研究事物进而理解事物是极有好处的。

在这样的想法马医动之下。笔者在实际教学中既注意保持现实所需要的学生解题能力的培养。同时又不断寻找数学文化在课堂教学中可能出现的脉络。取得了一些收益。在此通过本文与同行共享。

高中数学教学背景下关注数学文化的特点

将数学文化放到高中数学教学的具体背景之下。可以寻找到更为有效的教学思路。之所以这么说。是因为在当前某些课堂上的数学文化有只图热门之嫌——有些课堂上的数学文化成为数学故事的讲授。似乎数学文化就是为了有一些有趣的故事去吸引学生的眼球：有的课堂上数学文化成为一种与课堂无关的情境。似乎数学文化就是为了激发学生数学学习之初的一点兴趣。笔者以为。这样的数学文化的理解是肤浅的。对学生的作用也是极有限的。

将数学文化放到具体的教学背景之下。是为了让数学文化与课堂学习更好地联系起来。以让数学文化在学生的具体数学学习的过程中有一个坚实的立足点。能够真正生根。当然。这有一个重要的前提。那就是在实际的数学教学背景之下。数学文化所呈现出来的相关特点。对此。笔者进行了梳理：

第一。数学文化具有开放性。数学的发展是数学自身的逻辑体系发挥内力作用。社会经济发展起着外力作用的结果。数学是客观世界抽象发展的结果。同时又促进着社会的发展。因而认为数学文化是具有开放性的。具体到实际教学中。数学课堂应当不排斥生活事物而应当积极引入生活中的事物。并以之为分析对象。通过数学抽象、建模等方法。来描述生活事物。解决生活问题。从这个角度来看。数学文化显然不是以数学发展故事为核心的存在。而首先是一种开放观念的存在——数学教师要善于容纳一切与数学直接或间接相关的事物。

第二，数学文化具有依附性。数学文化依附数学知识而存在。譬如“向量”（苏教版高中数学必修4第二章）这一概念。早在古希腊时期就被亚里士多得运用来表示力。后来由牛顿演变为用有向线段来表示力。而其成为数学研究的重要内容。则是以其具有几何特征的量的研究。也因此向量有了几何向量与空间向量之分。再后来人们又把空间性质与向量运算进行了结合。演绎出一套具有运算通性的数学体系。纵观这段历史可以发现。数学文化是伴随着数学知识的发展而延伸的。数学文化隐藏在数学知识背后却又反作用于知识的生成。当前数学课堂上知识的构建缺少文化的支撑。因而学生只感受到数学知识的抽象性而感受不到文化的驱动。因而学困现象越来越普遍。

第三，数学文化具有多解性。不同视角下的同一数学事件有着不同的意义。数学课堂上数学文化更多的应当体现为对数学知识构建的促进上。同样如上面所提到的“向量”概念的构建。基于数学发展史的文化脉络。可以设计让学生去比较向量与非向量的区别。认识生活对于向量描述的必要性。而不纯粹是数学知识自身的逻辑性。则可以为学生构建关于向量的概念提供另一种动力。要知道。建构主义固然认为知识是学生自己构建出来的。但在不同动作作用之下。构建的过程与结果会有很大的区别。知识是不是真正得到内化。与构建动力有着直接关系。

梳理以上特点。目的在于引导自身在课堂教学实践中以更为理性的心态引入数学史。更为智性的心态渗透数学文化笔者以为。相对于贴标签式的数学文化课堂而言。这样的渗透更具润物无声的效果。

以数学文化为脉络的高中数学教学实例

在具体的数学知识教学过程中。在具体的学生构建数学知识的过程中。数学文化如何成为学生的思维脉络之一呢？笔者进行了多次实践，现结合“向量的坐标表示”中的“平面向量基本定理”教学进行简单阐述。

平面向量基本定理的内容是：如果e₁和e₂是同一平面內的两个不共线的向量。那么对这一平面内的任一向量a。有且只有一对有序实数λ₁，λ₂，使a=λ₁e₁+λ₂e₂。对于这一知识的构建，可以基于数学文化的脉络设计这样的几个教学环节：

环节一：借助于生活因素，创设思维情境。提出探究问题向量的坐标表示有一个重要思想。就是平面内一个向量与两个不共线向量之间的“依附”关系。即“一个向量”与“两个不共线向量”之间存在的相互依附且唯一的关系。在生活中存在这种联系的事物不少。比如学生在物理学科学到的合力与分力的等效依附关系。又比如说学生在音乐学习中遇到的乐谱中的阿拉伯数字与音调之间的对应关系等。引入这些元素。可以先让学生感受一下这种普遍存在的依附关系。从而在思维上奠定平面向量基本定理的理解基础。然后再借助于教材上提出的速度分解与力的分解两个例子，提出问题：平面内的任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？这样的设计中蕴含了同一数学思想在生活与数学以及其他学科普遍存在的意思。旨在让学生领略数学文化在不同领域的广泛存在。

环节二：分析平面向量基本定理中的文化脉络。实施主题引领下的教学。研究分析相关数学资料可以发现。平面向量基本定理描述等效前提下一个向量与两个向量的关系。是源自于向量研究中研究者对某一平面内所有向量是否存在基底的探究。同时也源自于向量在实际应用中的等效要求。因此结合这两点史实。在教学设计中可以设计这样的环节：火箭升空后拐弯的时间段里，要从速度的角度描述其运动。则可以将其分解到水平与竖直两个方向。这一实际情形通过数学抽象可以简化为这样的数学模型：一个平面内存在一个向量。然后寻求是否可以将其分解为两个非共线向量。以及这个向量与两个非共线向量（基底）之间的系数关系。本环节中可以回顾向量概念。尤其是牛顿利用向量研究力学的一些史料。从而加深学生对平面向量基本定理的认识。

环节三：引导学生反思深层次的文化力量如上所说。本文所阐述的数学文化并非以故事为载体的文化。而是以驱动学生进行有效的数学思维的文化。从第一个环节的设计中。学生可以感受到数学思想方法与数学思维的普遍存在与适用：从第二个环节中的数学与实际情形的联系。以及基于一个平面内的基底的寻找与探究。学生可以感受到“有且只有一对实数”所带来的数学的唯一性、精确性与对应性。而这恰恰是平面向量基本定理美的所在。

从数学文化视角管窥高中数学教育的实现

有研究者提出。高中数学要走基于数学文化的从数学教学到数学教育之路。显然。数学教学局限于日常的应试，而数学教育则指向数学的本质。数学教育包含了数学教学。却又超越一般的知识传授在这个过程中。数学文化承载着重要的使命

数学教师要做的一件重要的事情是，从数学故事、数学轶事中寻找数学发展的脉络。尤其是数学知识是如何发生的脉络。以梳理一个数学知识在历史中在什么样的背景下、以什么形式被研究者所重视并发现出其中的规律的。这样的研究可以让教师更好地把握数学知识发生的逻辑。也可以更好地完善自身的教学设计，以让学生经历一个更为合理的学习过程。