徐永红

摘 要：数学归纳法是一种特殊的推理论证的方法，准确把握其本质，是正确应用该法的先决条件.

关键词：归纳奠基；归纳推理；问题

数学归纳法的本质是递推，其形式是固定的两步：（1）归纳奠基；（2）归纳推理，用它证明一个与正整数n有关的命题时：

（1）n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；

（2）假设n=k（k≥n0k∈N*）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

若两个步骤完成，则命题由n=n0成立，就有n=n0+1也成立；n=n0+1成立，就有n=n0+2也成立；n=n0+2成立，就有n=n0+3也成立；…… 连续递推，形象地可看成引发了一个连锁反应（类似于多米诺骨牌倒下的过程）. 但在应用数学归纳法时，特别是初学者对其本质把握不准的情况下，会出问题，以下就此谈几点看法.

奠基必须有

问题1：用数学归纳法证明

即当n=k+1时等式成立.

数学归纳法第（1）步的证明一般都比较简单，一些初学者觉得它可有可无，与第（2）步的证明无关.上述证明就无第（1）步而直接证明第（2）步，但显然当n=1时等式不成立（该命题为假命题）. 其实数学归纳法第（2）步中的“假设n=k时命题成立”要以第（1）步为依托，即证明了第（1）步中“n=n0时命题成立”，第（2）步的“假设n=k时命题成立”中的“k”至少有“n0”为保证（奠基），所以第（1）步必须证明，因此上述数学归纳法的应用错误.

[?] 奠基必须实

问题2：用数学归纳法证明：n2<2n（n∈N*）（现行人教版4-5P50例1改编）.

证明：（1）当n=1时，有12<21，不等式成立.

至此，从形式上看完成第（1）步的证明，但显然当n=2，3，4时不等式不成立（该命题是假命题）. 其实使“不等式 n2<2n成立的正整数n为1或5或大于5”，这里若用数学归纳法证明时，第（1）步中的“n0”应为