许正川

摘 要：关于椭圆、双曲线、抛物线的有关问题，往往都是利用它们各自的标准方程进行探究，所得结果也往往彼此不同，好似互不关联. 利用圆锥曲线的统一定义，建立一个统一方程便能克服上述困难.

关键词：圆锥曲线；统一方程；解题；探究

关于椭圆、双曲线、抛物线的有关问题，往往都是利用它们各自的标准方程进行探究，所得结果也往往彼此不同，好似互不关联.而进行计算或论证时，也比较繁杂冗长，有时要用难以想到的技巧，增加了解这类问题的难度. 如果我们利用圆锥曲线的统一定义，建立一个统一方程，以此为工具，有时可较好地克服上述困难，也较易看出它们有关结论的关联，从而加深我们对圆锥曲线本质的理解.

若圆锥曲线C的一个焦点为F，与其相对应准线为l，离心率为e，以F为坐标原点，过F且与l垂直的直线为x轴建立直角坐标系，设直线l的方程为x+p=0（p>0），圆锥曲线C上任一点M（x，y），M至l之距为d，则由圆锥曲线的定义，有=e，即=e，

整理得（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0. （1）

当e≠1时，此圆锥曲线的两轴方程为x=，y=0，中心O′

当e=1时，圆锥曲线有一条轴，y=0.

下面举数例加以说明.

例1 （2015年全国高考数学（全国新课程）卷第20题的推广）

已知直线l不过圆锥曲线C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0（e≠1）中心O′，也不平行于坐标轴，与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，求证：直线O′M与直线l的斜率之积为e2-1，是一定值.

证明：由题意，直线l的斜率存在，且不为0，可设其方程为y=kx+b（k≠0），代入C的方程（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0，

例2 （2015年全国高考福建数学（文科）卷第19题的推广）F为圆锥曲线C：（1-e2）x2-2pe2x+y2-e2p2=0的焦点，过F的直线交C于A，B两点，G（-p，0），求证……