陈建华

(扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002)



依托面积为载体的几个不等式的直观证明及思考

陈建华

(扬州大学数学科学学院，江苏扬州225002)

[摘要]依托面积为载体，在给出Young不等式的几何直观证明的基础上，继续讨论几何直观在几个相关不等式证明中的运用.探讨了数学教学中如何发挥几何直观的作用.

[关键词]不等式； 几何直观； 面积

1Young不等式

(1)

(1)式被称为Young不等式.

Young不等式是证明Hölder不等式、闵科夫斯基不等式的基础，也是定义向量(矩阵)P-范数的关键.关于该不等式的证明，矩阵论和泛函分析课程中都是构造辅助函数来证明的.如：史荣昌等构造

求导取特殊值证明[2]；文献[3]和[4]中，戴华与程其襄、张奠宙等都是构造的辅助函数是f(x)=xα-αx，这里x>0,0<α<1，然后证明函数在x=1时取得最大值1-α.教学中，我们发现构造辅助函数证明不等式是有效的，但均较为抽象，特别是后两个辅助函数不易想到，从教学角度看，这些辅助函数就像“天上掉下来的林妹妹”，给人的感觉就是突然.如何改变知识形态，让学生易于接受，有利于学生学习呢？本文以平面图形面积为载体，从几何直观的角度作了一些思考.

2直观证明

图1　(p>2)　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2　(1

教学实践表明较之于照本宣科使用辅助函数讲解，学生们对基于面积的几何直观证明方法更感兴趣，更容易接受.我的感受是：抽象的知识会加大学生的认知难度，而教师将抽象的知识以形象化的状态呈现出来，教学中就会使得教师授课轻松，学生对知识的理解透彻、记忆深刻，掌握牢固.正像斯蒂思曾经说过的：如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么，思想上就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法[5].

3特殊化分析

由Young不等式，有

推论1当p=q=2时，得基本不等式

(2)

当a=x,b=1时，得

(3)

图3

数学教学中，关于挖掘不等式中固有的几何直观因素，创造贴切的几何直观来理解不等式的经典案例有许多.譬……