张冬燕,　王耀革,　张武军

(解放军信息工程大学理学院，郑州450000)



多元函数条件极值的必要条件

张冬燕,王耀革,张武军

(解放军信息工程大学理学院，郑州450000)

[摘要]推导证明了一般n元函数及常用的二元、三元函数在等式约束条件下用行列式表示的极值的必要条件，并从几何上对二元、三元函数在等式约束条件下取极值的必要条件予以了直观解释.利用这些必要条件求解条件极值，因除去了Lagrange乘数法带来的Lagrange乘子对解方程组的困扰，而使得最终方程组的求解变得明快简洁.

[关键词]多元函数； 条件极值； 必要条件

1引言

构造Lagrange函数，在Lagrange函数驻点中寻找目标函数在等式约束条件下可能的极值点，Lagrange乘数法因着清晰流畅的求解思路成为求解条件极值问题的一把利器. 但是，因为在求解Lagrange函数驻点过程中产生了由各样方程构成的方程组，方程组的求解成了一个难点. 文献[1-2]借助线性方程组理论给出了利用行列式简化求解二元、三元函数条件极值的方法，这种方法因减少了Lagrange乘子的干扰而使求解最终方程组变得简单,能否将此方法推广到求解一般n元函数在多个约束条件下的条件极值呢？在此思想的启发下，我们尝试探讨了一般n元函数在等式约束条件下用行列式表示的极值的必要条件.

2主要结论

1.1　函数u=f(x1,x2,…,xn)在k

定理1.1设

f(x1,x2,…,xn),φi(x1,x2,…,xn),i=1,2,…,k

均具有一阶连续偏导数，φi(x1,x2,…,xn), i=1,2,…,k对各个变量的偏导数不全为零，且

线性无关,则u=f(x1,x2,…,xn)在条件

φi(x1,x2,…,xn)=0,i=1,2,…,k

下以点P0为极值点的必要条件是

φi(P0)=0,i=1,2,…,k

且在该点处矩……

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