蔡菲

【摘要】 好的练习题是一种难得的教学资源，蕴含着很高的教学价值.其中存有多种解法的题就是一类比较好的题目.通过对此类题目的多维度解答，可以很好地培养学生发散性思维能力以及分析问题、解决问题的能力.

【关键词】 一题多证；辅助线；思考

几何证明题一直是初中数学的重点和难点，但这部分内容却让很多学生感到头疼.究其原因有以下几点：第一，辅助线的添加具有一定的难度；第二，对已学的定理、推论等掌握不够牢固；第三，不能准确地将题目中所提供的信息与自己已有的知识建立一定的联系；第四，问题分析能力的不足.那么教师怎样通过对题目的解答来引导学生提高分析问题的能力和归纳总结能力呢？下面就以一道多证题为例，谈谈证明题中关于辅助线的作法.

一、题目及多证

如图1， 在△ABC中， AB=AC， F是AC上的点， 在BA的延长线上取一点E使AE = AF，连接EF并延长交BC于点D， 求证：EF⊥BC.

方法一：作∠BAC的角平分线交BC于G.

如图2所示.

∵ AE = AF，

∴ ∠AFE = ∠E， ∠BAC是△AEF的外角.

∴ ∠BAC = ∠AFE + ∠E = 2∠AFE.

∵ AG平分∠BAC，

∴ ∠BAC = 2∠GAC.

∴ ∠GAC = ∠AFE.

∴ AG∥ED.

∵ AB = AC， AG是∠BAC的角平分线，

∴ AG⊥BC.

∴ ∠FDC = ∠AGC = 90°.

∴ EF⊥BC.

评析 通过作角平分线来构造两个相等的角，再利用等腰三角形顶角的角平分线也是底边的高这一性质，最终得出EF⊥BC.

方法二： 取线段EF的中点H， 连接AH，如图3所示.

∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠C.

∵ ∠EAF是 △ABC的外角，

∴ ∠EAF = ∠B + ∠C = 2∠C.

又 ∵ AE = AF，FH = EH，AH = AH，

∴ △AHF ≌ △AHE.

∴ ∠EAF = 2∠HAF.

∴ ∠C = ∠HAF.

∴ AH∥BC.

∵等腰△AEF中，FH = EH，

∴ ∠AHF = ∠FDC = 90°.

∴ EF⊥BC.

评析 通过作线段的中点来构造两段相等的线段，从而为证明两个三角形全等提供了条件.

方法三： 过点C作MC⊥BC于点C， 交BA的延长线于点M， 如图4所示.

∴ ∠M + ∠B = 90°，

∠MCA + ∠ACB = 90°.

又 ∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠ACB.

∴ ∠M = ∠MCA.

∵ ∠BAC是△ACM的一个外角，

∴ ∠BAC = ∠M + ∠MCA = 2∠M.

∵ ∠BAC是△AEF的一个外角，

∴ ∠BAC = ∠AEF+∠AFE.

∵ AE = AF，

∴ ∠AEF = ∠AFE.

∴ ∠BAC = 2∠AEF.

∴ ∠M = ∠AEF.

∴ EF∥MC.

∴ ∠EDB = ∠MCB = 90°.

∴ EF⊥BC.

评析 通过作已知直线的垂线，可以构造一个……