王佳

摘要：从“零散型学材”向“结构化学材”转变，是促进学生的认知过程从单调走向丰富、从碎片走向整体、从肤浅走向深刻的关键。《认识角》一课教学，引导学生联结感知角的认知经验、关联抽象角的模型意识、循环应用角的概念创新，经历“一组一组学材”手脑并用、“深广”并进认知角的过程，从而逐步建构角的概念。

关键词：小学数学；结构化学材；认知过程

*本文系江苏省基础教育内涵发展项目“小学数学结构化学习课程基地建设”的阶段性研究成果。

结构化学材可以帮助学生的认知过程从单调走向丰富、从碎片走向整体、从肤浅走向深刻。在《认识角》一课教学中，笔者尝试从“零散型学材”向“结构化学材”转变，引导学生联结感知角的认知经验、关联抽象角的模型意识、循环应用角的概念创新，经历“一组一组学材”手脑并用、“深广”并进认知角的过程，从而逐步建构角的概念。

一、联结直观感知，形成空间观念

教师以学生的已有经验为起点，根据学生的认知规律，将结构化学材开发与体验性活动相结合，引导学生积极主动地调动多种感官体验，进而逐步发展空间观念。学生通过对物体、模型的观察、操作等活动，丰富对几何图形的感知，使“角”的形象在头脑中得到全面的反映，让自己的空间观念从少到多、从模糊到清晰，不断发展。

比如，教师通过课前调查，联结学生已有的生活经验和知识基础，在对“原始角”的欣赏、交流中，引导学生将生活事物中的角和数学图形中的角初步分类，引出本节课的学习对象（见图1）。接着，提供一组精心设计的结构化学材（见图2），包括图形、实物，含有锐角、直角、钝角的学材，以及能直接触摸到角的学材与不能直接触摸到角的学材。

一开始，教师让学生“找角”：每人选一个物品，指一指、摸一摸，说一说哪儿是它的一个角。这时，大多数学生对角的表象感知是模糊的、不完整的，他们不能准确指出图形或物品上的一个角在哪儿。通过小组交流，大部分学生在全班交流前拓展自己的“最近发展区”，包括能完整地指出一个角、描述出角的特点等。接着，教师作为合作者参与其中，将学生头脑中“不完整的角”“拓”了下来。视觉的直观感知让所有学生对角的表象都清晰起来，认识到：“他指的是一个点，不是角！”然后，“小老师们”上台演示到底该怎样完整地指角、“拓”角，使角的完整表象逐渐浮现出来。最后，教师再次组织学生在小组里完整地摸角，并说一说感受。对结构化学材的“看、摸、说”系列直观感知活动，充分调动学生的触觉、视觉、知觉，使学生通过多种感官、多种方式直观感知角的模样和特点，对角的表象从模糊走向清晰，从感性走向理性。［1］将生活经验与数学概念联结起来，是形成空间想象力、发展空间观念的经验基础。

再如，认识角的大小时，教师提供各不相同的角，包括边长的角、边短的角、两边长短不一的角，让学生经历“变角”活动：

生不管怎么变，它都是角，它都有两条边和一个顶点。

生角有大有小，张口越大，角越大；张口越小，角越小。

（学生演示：把边往外面拉，角的张口变大；把边往里面拉，角的张口变小。）

操作感知是学生理解“角的大小和张口有关”的重要认知经历，使他们直观感知了“数学道理”的形成过程。学生通过观察和比较，深刻感受到影响角的大小的因素是张口的大小，从而强化空间观念，为下一步比较角的大小以及运用几何知识解决实际问题做好铺垫。

二、关联程序抽象，树立模型意识

图形作为几何学科的研究对象，不论多么复杂，都是由一个或若干个最简单、最基本的图形组合而成的。教师引导学生在自主运用结构化学材的过程中，逐步将“角”从生活经验中剥离，形成数学图形的表象；接着，让学生完全脱离图形、实物学材的帮助，再次表达出心中的角。学生在不断进阶的认知过程中，运用想象、概括，抽象出最基本的“标准角”几何模型，并应用角的特征解决遇到的一类问题，增强应用意识，形成模型意识。

首先，教师需要留给学生独立、安静的思考空间，提供真实的、具有实效的学材，使学生初步抽象出角的模型。“現在角在你心中是什么样子？闭上眼睛想一想。想好的同学请在学习单上画出一个角。”这是一个独立思考、自主理解的过程，使学生真正抽象出数学概念来。

接着，教师以学生的作品为学材，问道：“有什么要提醒他注意的？”引导学生发现问题并提出解决办法：“应该用尺子把角的两边画得直直的。”“描角有误差，应该把角的顶点画得尖尖的。”学生通过反思修正，进一步抽象角的模型。可见，结构化学材不仅仅是教师提供的、精心设计的学习工具，学生生成性的作品资源同样可以作为生动多样的学材，为学生在不同认知阶段的学习服务，丰富他们认知的进阶过程。

最后，师生交流共同画角：

生先画一个点，然后用直尺画一条线。

师为什么要用直尺？

生因为角的每条边都是直直的。然后用直尺再画一条线。

（教师随意画。）

生（指顶点）不行，要从这个点出发。

师为什么要从这个点出发？

生否则就不是角了，就没有尖尖的“点”了。

数学模型其实是在观察、分析等活动中提炼而成的，这个提炼的过程就是一个程序抽象的过程。不难发现，“标准角”的模型已经深入学生心中，前期对角“直直的、尖尖的”特点的认知也抽象出了简洁的图形表征。板书中的标准角是以水平方向呈现的，但在现实生活中，角常常是以不同开口方向、不同大小存在的。于是，教师以学生的生成性作品作为学材，通过展示样式不一的角，引导学生在观察、比较、操作、辨析的数学学习活动过程中抽象出角的模型。而运用几何模型的过程又是一次对问题进行全方位思考的过程。在提炼、运用的过程中，学生需要不断去反思，这极大地促进了学生模型意识与思维能力的提升。

三、循环概念应用，培养创新意识

结构化学材重点围绕“认知结构、知识结构、思维结构”的根本性问题［2］，支撑学生不断清晰对角的外延认识和内涵挖掘，使学科知识与学生思维互動生长起来，并使学生在不断变换的复杂情境中回归到对概念的深度理解上，进而培养创新意识。

比如，学生因做的角两边一长一短而被质疑：“他做的也是角吗？”有学生指出：“这个角只是两条边不相等而已，它有两条直直的边，也有顶点，所以它是角。”可见，学生在制作角的过程中抓住了概念的关键要素，对角的外延认识不断清晰，形成了初步的批判性思维及创新意识。

再如，比较角的大小活动中，教师有选择地在黑板上贴了四个角（如图3所示）：有两边很短的活动角、两边很长的活动角，还有两边一样长且张口差不多大的两个角、两边一样长而张口大小差很多的两个角。这样一组结构化学材，能驱动学生在认知冲突处实现概念本质的积极迁移，加深学生对角的大小认识，循环挖掘角的内涵。

学生在比较角的大小时经历了分析、判断、选择等思维过程。教师通过精心选择学材，把学生的思维“自然”引向高处、深处：

生3号角比2号角小。因为3号角比我的一拃短，2号角有我两拃那么长。

师他在量哪里？

生（全体）角的张口。

师这时，两个角的边长差不多，所以可以直接量张口的长度，看张口的大小。

生4号角比3号角大。虽然4号角的边比3号角的边短得多，但是4号角的张口明显更大。

师他有没有量？

生没有。

师因为这时两个角的边长差很多。

生我选1号和2号，它们一样大。

生我不同意。可以把它们拿下来，放到一起比。顶点贴在一起，一条边对齐，2号的另外一条边在外面，就说明2号的张口大。如果它们的边都重合，两个角就一样大。

生不管是用目测还是用重叠的方法比较角的大小，都要看角张开的大小。

每一次操作都要让思维走在前面，每一次操作都是有目的的思考。学生的思维火花碰撞出了精彩多样的比较角大小的方法，包括：对能一眼判断大小的两个角，选择目测法；对不能一眼判断大小的两个角，选择重叠法；当两个角的边长差不多时，可以量张口的长度。多样化方法、批判性思维的出现是学生在问题解决时的应用与创新，是他们对新事物的理解，是之前比较线段长短的方法迁移。同时，在变换的复杂情境下，学生反映出对影响角大小因素的深度理解。可见，结构化学材的使用对学生高阶思维的发展有着四两拨千斤的效果。

为了实现课堂上不断推动学生的思维往高处走的目标，教师要提供独立思考、合作交流等多样的活动形式，要设计出生动活泼、多维多层的学习活动，要提供有利于学生形成良好认知结构的结构化学材。借助结构化学材，让学生经历直观感知、程序抽象、应用创新的进阶过程，帮助学生深度明晰数学概念的内涵和外延，积累解决问题的方法和经验，着力学生认知经验、情感态度与应用创新的综合发展。

参考文献：

［1］ 张晞.小学数学结构化学材开发“三部曲”——以“11～20各数的认识”为例［J］.江西教育，2020（2）：2628.

［2］ 吴玉国.小学数学结构化学习的实践研究 ［M］.南京：江苏凤凰教育出版社，2021：43.