［摘  要］ 当今的数学教育注重学生在课堂中的主体地位，强调学生主观能动性的调动与发挥，以发展学生的核心素养为宗旨. 这就需要教师通过切实有效的措施，将启发式教学应用到教學的方方面面. 文章以“函数零点”的复习教学为例，从“提取信息，暴露问题”“引发质疑，重新建构”“综合应用，强化理解”“加强反思，总结提升”等方面，具体谈谈启发式教学在高中数学复习中的实施.

［关键词］ 数学复习；启发式教学；思维；互动

作者简介：张文妍（1993—），本科学历，中学二级教师，从事高中数学教学工作.

在高中数学教学中，采用不同的教学方式，可以获得不同的教学效果. 这就意味着教学方式对学生的学习起着重要的影响作用，而站在教师的角度去精心选择并优化教学方式，也就成了一个重要的任务. 复习是教学中的重要环节，复习起着帮助学生整合数学学科知识、促进学生知识建构的作用，选择与复习相匹配的教学方式，对学生学习结果的影响更加明显. 在诸多教学方式当中，启发式教学由于能够促进学生的思维发展、能够促进学生有效建构知识体系，故其有更好的帮助学生复习的作用. 当然，作为一种优秀的教学方式，其作用能否在复习的过程中充分发挥出来，还取决于教师对启发式教学的理解与实践.

启发式教学是指教师根据教学目标与学情，综合应用各种教学手段，启发学生思考，建构认知体系的过程. 这不仅是一种教学方法，还是一种教学原则、思想与观念［1］.

理解启发式教学，先要理解何为启发. “启发”这个教育思想可追溯到孔子的“不愤不启，不悱不发”之说，也就是要在学生积极、努力思考后再去启发他. 学生若不思则不启，而学生的思尚未达到“愤”的程度也不启. 无独有偶的是，不仅中国的传统教育强调启发的作用，西方的教育对启发也高度重视，尤其是西方发达国家，常常通过探究式教学来帮助学生建构知识，实际上这一教学方式当中的启发意味就非常浓郁，不少人认为探究式教学的基础就是启发式教学.在具体实施的时候，教师的首要任务就是去启发学生，去激活学生思维，让学生在复习的过程当中，能够有效整合已经学过的知识，并且有新的发现. 具体一点说，高中数学的复习环节，在学生思维的困惑处运用启发式教学，能为学生的思维指明方向，帮助学生突破思维障碍，达到巩固、提升的效果. 尤其是高三复习，学生已经建立基本的知识架构，掌握了常用的知识技能和思想方法，解题时拥有自己独特的见解与想法，在学生思维的瓶颈处加以启发，可点亮学生的感悟思维，让学生在总结、反思中发展数学核心素养.

提取信息，暴露问题

复习是对记忆中的信息进行提取、加工与应用的过程. 信息提取主要是对之前学过的概念、定理、法则、数学思想方法或公式等信息的回忆过程. 此环节中，教师要充分调动学生的积极性，让学生展现出主人翁意识，鼓励学生采取分类线索或任务等方式主动提取信息，并积极表述. 教师在学生的表述过程中，发现思维的薄弱点，从而有针对性地进行启发、引导，以达到重点明确的复习效果. 可以说，提取信息就是启发式教学运用的基础，信息提取得越成功，学生思维加工的载体就越丰富，学生就越容易发现数学概念或规律之间的关系. 当然，这一连续发现的过程离不开教师的“启”，而考验教师复习智慧的，也正是这个“启”. 教师通过适当的教学策略，帮助学生扫除知识理解中的障碍，帮助学生发现数学概念或规律之间的关系. 尤其在具体解题的时候，能够让学生认识到看似没有关系的数学概念或规律，却可以在同一个问题解决的过程中得以运用，这就可以帮助学生有所发现.

函数零点的定义是学生熟悉的，想要发现学生思维的弱点，就要与学生积极地互动交流，让学生在交流的过程中呈现问题. 本节课中，笔者进行了以下几个教学环节：

环节1：在概念回顾中暴露认知偏差

师：请大家说说你们对函数零点是怎么理解的.

在此交流环节中，关键要点明“函数零点”并不是“点”，而是一个“解”. 从代数的角度来看，学生的理解基本没有问题，那么相对应的几何理解又是怎样的呢？大部分学生能回忆到函数f（x）与x轴相交点的横坐标. 教师可在此处强调，代数与几何相通的思想，即f（x）=0相对应的自变量x→代数方程，f（x）和x轴相交点的横坐标→几何图象. 厘清这两者间的辩证关系后，接下来可从代数与几何两种思维的角度展开复习.

环节2：在解题中暴露认知偏差

例1 函数f（x）=lnx－的零点大致在区间（  ）

A. （2，3） B. （1，2）

C. （3，4） D. （4，5）

师：面对此题，你们首先想到的是什么？

大部分学生表示自己首先想到的是求导. 通过交流发现，学生的想法与笔者原本的预设有所差别. 若遇到这种情况，教师先要稳住阵脚，切不可简单、粗暴地否定学生的想法，或直接呈现正确的解题方法. 这些是典型的越俎代庖、喧宾夺主的教学行为，会抑制学生的思维发展.

作为一名优秀的教师，应先思考学生产生偏差想法的原因，然后利用反问、追问、提示、转问等手段启发学生思维，让学生自主发现问题的根源，从而提炼出正确答案. 如针对例1提问：“求导的目的是什么？”让学生将自己的想法呈现出来.

学生之所以会出现认知偏差，主要原因是学生的解题经验不足，以及对知识的理解不够深刻，在提取信息时出现模糊不清、定位偏差等现象. 通过启发式教学，笔者发现学生对于零点的存在是知道的，只是没有达到灵活应用的程度. 启发式教学可让学生尽可能地自主表达、提取信息、修正信息，达到梳理并完善认知结构的目的.

引发质疑，重新建构

复习不仅要完善学生的认知结构，还要实现知识体系的重新建构. 其目的在于让学生自主梳理对知识的理解，形成有序、条理清晰、立体以及高效的认知体系，为新的数学图式结构的形成夯实基础，此过程离不开教师的启发与引导. 大量的教学经验表明，要让学生在复习的过程中有效整合并建构知识体系，最强的动力来自学生质疑. 学生质疑意味着学生有了疑问，而疑问可以打破原有的认知平衡. 当学生的认知平衡被打破后，学生也就容易形成整合知识的动力，这意味着知识体系的重新建构有了更大的可能，学生在质疑中获得灵活处理问题的能力将会大大增强. 从这个角度来看，启发式教学要想得以有效运用，引发学生质疑很重要. 可以说质疑就是启发式教学的内在动力. 当然，引发质疑也是有技巧的，在学生的最近发展区内引发质疑，通常能够起到较好的复习效果.

环节3：互动中引发质疑

笔者针对以上环节，追问学生对于函数零点存在性定理的认识. 学生提出了“单调”“一正一负”的理解. 此时，学生在理解上的偏差就暴露出来了.

师：从大家的理解来看，只需要曲线连续，一正一负中间就必定存在零点，若带上“单调”呢？

生众：那就是唯一零点了.

师：是否唯一零点就必须是单调的？

生1：这不一定，比如某二次函数的顶点位置恰好在x轴上，其零点就只有一个.

通过简短的互动交流，笔者成功地引发学生质疑，使学生重新梳理了知识脉络，对自己原有的知识体系重新进行了建构. 在此过程中，学生通过函数图象模型的应用与类比不仅有效完善了认知结构，还带动了同伴思考.

若想强化学生对“零点唯一性”的辨析，帮助那些思维仍逗留在函数单调性层面的学生重新建构知识体系，教师还可以增加如下环节.

环节4：从多方位的互动中重新建构知识体系

例2 已知函数f（x）=x2－2x+a（ex-1+e1-x）存在唯一的零点，求a的值.

生2：解决此题应该从单调性的角度出发.

生3：我不这么认为，若将“x－1”视为整体，则可以得到一个关于x=1对称的函数，既然为对称的关系，那么零点必然也是成对出现，除非在对称轴处恰好是单个.

师：这么理解的话，本题是从对称性的角度来判断了？唯一性的本质与对称性相关吗？

生2：我还是觉得从单调性的角度来分析比较合理，若a>0，当x<1时，f（x）递减，当x>1时，f（x）递增，先减后增，通过画图即可一目了然，若只有一个零点，唯最小值为0时.

师：零点的唯一性到底和谁有关系呢？

生4：不仅与单调性相关，还与最值、图象位置相关.

变式例题的应用，有效促进了学生多方位互动交流，在自主质疑、分析、推断、辨析中实现了知识体系的重新建构.

综合应用，强化理解

知识的综合应用是对知识、技能、数学思想方法的综合迁移，需要学生从认知结构中选择、提取、加工信息，建构数学模型. 学生常通过分类、探究、联想等方式，提高应用能力［2］.

环节5：多角度互动中实现生成

例3 函数f（x）=x－a·ex（a∈R），有且仅有一个零点，则a的取值范围是什么？

生5：对原函数求导，得f′（x）=1－a·ex. 当a≤0时，函数f（x）单调递增，有且仅有一个零点；当a&gt;0时，函数f（x）的最大值为0，也就是fln=0，解得a=.

师：能区分这两类零点吗？

生6：可称为单调零点与最值零点.

……

因学生的思维方式存在一定的差异，可将偏向代数或几何的观点结合起来进行辨析，以提高学生对知识的实际应用能力.

加强反思，总结提升

及时反思是复习课的重要环节之一. 反思时，教师应引导学生站到命题者的角度去俯瞰试题的结构，以揭开试题的神秘面纱. 同时，试题的讲评应适可而止，只有落于学生最近发展区的引导，才更具启发意义. 反思环节，应注重从特殊到一般的横向推广与类比，并深入问题的本质进行纵向延伸，为形成良好的反思能力奠定基础.

环节6：在反思中再次探索

经过以上探索过程，学生對函数的单调性、实根分布、图象以及参数分离等都有了更深层次的认识，且能完整地解读出零点与无零点的图象特征及分类情况，学生充分感受到参变分离的优势. 为强化学生认知，笔者又增加了一个反思应用，供学生思考.

例4 已知函数f（x）=sin2+sinωx－（ω>0），x∈R. 如果f（x）于区间（π，2π）上无零点，求ω的取值范围.

学生经过探索，认为解决本题的关键思路为：不论函数是否单调，只要曲线是连续的，保证值域同号即可解决本题，解题时要结合图象进行判断.

至此，本节课趋于尾声. 下课前，笔者让学生做一个知识结构整理，以思维导图的方式呈现出来. 这是帮助学生完善认知结构的重要手段. 学生通过知识梳理，形成了一个完整的知识架构（见图1）.

结构图可作为课堂小结，也可用于复习课的导入环节，以填空的形式启发学生提取信息. 学生完善结构图的过程就是梳理知识结构、清晰思维的过程.

总之，启发式教学在高中复习课中的应用十分广泛，启发过程中的互动尤为关键. 互动交流过程就是处理师生、生生与复习内容之间关系的过程. 学生在教师的引导下，积极思考，将复习落到实处. 当学生能用自己的方式，从不同角度来表达对问题的看法时，就实现了理解与创新的过渡.

参考文献：

［1］ 孙幸荣. 浅谈启发式教学实施途径及几个误区［J］. 数学学习与研究（教研版），2009（09）：14-15.

［2］ 邱云. “四维”反思 提升高考复习实效——讲评一道试题有感［J］. 中学教研（数学），2017（11）：6-9.