顾利娣

[摘  要] 为了让学生灵活运用数量关系解决数学问题，文章以“整数四则混合运算”（苏教版小学数学四年级上册）中的一道错题为例，从典型错题解读、教学改进实践、改进实践的设计意图、改进成效分析等角度来阐述一道错题的化错过程。

[关键词] 数量关系;典型;学生错题;教学改进

一、典型错题解读

1. 错题来源

苏教版四年级上册第七单元“整数四则混合运算”。

2. 学生错误解答

题目：张师傅一共要加工600个零件，前12天加工了360个，照这样计算，还要加工多少天才能完成？

学生错解：

①600÷（360÷12）

=600÷30

=20（天）。

②600-360÷12

=600-30

=570（天）。

③600-360÷（360÷12）

=600÷30

=20（天）。

3. 错题真实访谈记录

考虑到访谈真实性，当学生完成这道题目的解答后，笔者就有目的地选择了用不同方法解答的学生，单独进行访谈，了解他们当时这样解答的原因。

师[出示解法1：600÷（360÷12）=600÷30=20（天）]：这位同学，你当时为什么这样做？能说给老师听听吗？

生1：题目告诉我们前12天加工了360个，我先计算出一天加工多少个零件，也就是每天加工360÷12=30（个）零件。再按照这样的思路计算，因为题目说张师傅一共要加工600个零件，所以要加工600÷30=20（天）才能完成。

师：你再读一读问题，要我们算什么？

生1：要我们计算还要加工多少天才能完成。（恍然大悟）哦，还要用总天数减去已经做了的12天，所以还要加工20-12=8（天）才能完成。

师[出示解法2：600-360÷12=600-30=570（天）]：这位同学，你当时为什么这样做？能说给老师听听吗？

生2：题目告诉我们前12天加工了360个，我先计算出一天加工多少个零件，也就是每天加工360÷12=30（个）零件。再用一共要加工的600个零件减去每天加工的个数，列式600-30=570（天）。

师（追问）：再用一共要加工的600个零件减去每天加工的个数，这个算出来是什么？

（生2不说话。）

师[出示解法3：600-360÷（360÷12）=600÷30=20（天）]：这位同学，你当时为什么这样做？能说给老师听听吗？

生3：题目告诉我们前12天加工了360个，我先计算出一天加工多少个零件，也就是每天加工360÷12=30（个）零件。再算360÷30=12，600÷30=20（天）。

师：那你后面的两个算式表示什么意思呢？

（生3不说话。）

4. 错因分析

这是“整数四则混合运算”（苏教版四年级上册第七单元）中的一道题目，涉及工程问题，从学生已有的知识经验来看，他们已经具备了处理工程问题相关的数量关系的能力。但是再从这三位学生的解答和真实思考过程来看，他们主要存在以下几个问题：

从学生角度来看，首先是他们读题能力弱。在访谈中，当笔者问他们题目中要解决什么问题，他们都觉得这道题目的问题是“要加工多少天”。但是当笔者再次询问他们要解决什么问题时，他们仔细看后才注意到问题是“还要加工多少天”。可见，这些学生在读题时都粗心大意，没有理解题目的真实意思。

其次，学生不能灵活地运用数量关系。他们知道这道题目要用到“工作总量÷工作效率=总的工作时间”这一公式，这一步大多数学生都想到而且做对了，但是在接下来的几步就不知道用什么数量关系了。还有的学生生硬地套用公式，无法解释为什么要这样列式。

而且，这些学生对答案缺乏估算意识和生活经验。比如生2计算出的答案是加工600个零件用570天，这与计算出的每天加工30个是矛盾的。

笔者认为，当一道题目在不同班级测试后的错误率差不多，而且错误类型也大致相同，它就属于典型的学生错题。

二、教学改进实践

1. 温故知新，唤醒经验

师：同学们，回顾一下我们学过了哪些主要的数量关系？

生（齐）：工作效率×工作时间=工作总量，单价×数量=总价，速度×时间=路程。

师：根据这三个数量关系，我们还能推导出工作效率、工作时间、单价、数量、速度和时间的计算方法，你们知道怎么算吗？

生（齐）：工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率，单价=总价÷数量，数量=总价÷单价，……

师（出示题目：陈师傅用15天加工600个零件，每天加工多少个零件？）：你会计算吗？

生（齐）：工作效率=工作总量÷工作时间，所以每天加工600÷15=40（个）零件。

师（出示题目：陈师傅前15天加工600个零件，照这样计算，6天能加工多少个零件？）：这道题该怎么解？

生（齐）：我们先算出每天加工多少个，陈师傅前15天加工600个零件，每天加工零件600÷15=40（个）;再算6天能加工多少个零件，所以6天加工零件40×6=240（个）。我们也可以用综合算式600÷15×6=40×6=240（个）。

师：在没有括号的算式里，只有乘法和除法，我们先算什么再算什么？

生（齐）：只有加减或只有乘除的时候，只需按从左到右的顺序依次计算。

2. 体会审题，感受策略

師：（出示题目：张师傅一共要加工600个零件，前12天加工了360个，照这样计算，还要加工多少天才能完成？）同学们，我们先来读一读题目，边读边想怎么列式解决。谁来说说题目告诉了我们哪些数学信息，要我们解决什么问题？

生（齐）：题目告诉我们加工600个零件，前12天加工360个，要我们计算还要加工多少天才能完成。

师：我们知道了题目中的条件和问题，你们觉得问题中最关键的是什么字词，请圈出来。

生（齐）：最关键的是“还要”，需要用总天数减去已经做的天数。

师：接下来大家想一想先算什么再算什么，试着写出算式解决这个问题。

生1：我先根据“前12天加工360个”算出每天加工的工作效率是360÷12=30（个），再根据“张师傅一共要加工600个零件”算出一共要加工的天数是600÷30=20（天），最后用总天数20天减去已经加工的12天就是还要加工的天数20-12=8（天）。

师：你能写出综合算式吗？

生1：600÷（360÷12）-12=600÷30-12=20-12=8（天）。

生2：我是这样做的，先根据“前12天加工360个”算出每天加工的工作效率是360÷12=30（个）。再根据“一共要加工600个零件和已经加工了360个”算出还要再加工的零件600-360=240（个）。最后算出还要加工的天数是240÷30=8（天）。綜合算式是（600-360）÷（360÷12）=240÷30=8（天）。

3. 举一反三，建立模型

师：同学们，我们已经学会了用整数四则混合运算去解决问题，接下来你们再试试解决这两道题目。[出示题目：（1）一条公路长3600米，已经修路7天，平均每天修路300米，余下的每天修路500米，还要几天才能全部修完？（2）星星服装厂要生产495套服装，原计划11天完成，实际每天多生产10套，几天可以完成任务？]

三、改进实践的设计意图

1. 进一步加强学生的审题能力

解决应用问题的前提在于审题。为了更好地让学生知道如何审题，笔者在课堂上做了示范：先一字一句地读题，在读题中提取题目中的已知条件和问题;再圈出题目中的关键信息或者易被理解错的关键字词，提醒自己在思考的时候加以关注——比如在新授课环节中的这道加工零件的题目，有的学生提到问题中的关键字词是“还要加工”，这就表示要用“总天数减去已经加工的天数”——这样的审题就可为解决应用问题提供思路和方向。

2. 进一步清晰学生的解题思路

解决问题是一个利用数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考的过程。教师需要通过问题的解决发展学生的计算、推理和几何直观等能力，帮助他们养成良好的学习习惯，使他们具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。在解题过程中，学生首先需要在理解基础上熟记一些数量关系，再结合具体的题目灵活地选用合适的数量关系。学生只有经历了这一过程，才能真正地理解题目，实现举一反三。

四、改进成效分析

笔者通过对同一个班级的学生进行首次测试和再次测试，以及针对同一年级不同班级的相同教学改进实践，发现了以下结论：

在同一个班级中，学生再次测试的错误率与首次测试相比有较大的降低，首次测试的错误率是35%，再次测试的错误率是21%。即使是解题错误的学生，也并非完全错误，在访谈中他们也能从数量关系的角度解释自己为什么这样列式。

同一个年级中的不同班级原来的错误率基本接近，各班在进行相同的教学改进干预后，错误率明显下降，有的班级甚至把这种类型的题目错误率控制在10%内。对于班级里的优秀学生，有的还想到利用不同的数量关系进行一题多解，发展了他们的数学思维。

通过对数学错题的教学改进，笔者认为教师在教学中要用数据记录学生的错误率，并及时针对部分错题进行教学干预，通过对一类题目的系列化讲解，帮助学生更加系统地掌握解题方法，为其后续学习新知识做好知识和经验的铺垫。