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浅论数形结合思想及其应用

2016-11-23胡尔轩

东方教育 2016年17期
关键词:数量关系思想方法数形结合

胡尔轩

摘要:数学研究的对象是现实世界的数量关系(数)和空间形式(形)。“数”和“形”常按照一定的条件相互转化,数形结合思想是数学重要思想方法之一,并蕴于数学基础知识和基本技能之中,在数学解题中应用十分广泛。数形结合思想的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,发挥“数”与“形”两种信息的转化、互补与整合,使逻辑思维与形象思维完美地统一起来。

关键词:数形结合;思想方法;空间形式;数量关系

数学的研究对象主要是数量关系和空间形式,因而数形结合是一种极富数学特点的信息转换。在中学数学教材中,我们可以看到处处渗透着数形结合的思想。如研究函数的性质,往往借助于函数的图象;研究不等关系往往借助于“数轴”;研究三角函数借助于单位圆等等,这些都直接体现了数形结合的思想。运用数形结合思想解题,不仅非常直观,而且也易于寻找解题途径,还能避免繁杂的计算和推理,简化解题过程,收到事半功倍的效果。数形结合的解题方法具有直观性、灵活性的特点。可以说,数形结合思想是中学数学中最常见、最有效的思想方法之一。但学生在平时的学习中不易把握,而它的应用却又十分的广泛。

一、数形结合思想的内涵

何谓数形结合?数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映,是数学的基石。恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何直观,使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾,宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。关于数形结合,华罗庚先生也曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休;切莫忘,几何代数流一体,永远联系切莫分离。”

数形结合思想是通过数、形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想。“形”中的一些量(如距离、角度、面积、体积等等)在一定单位制中可分别对应一些确定的“数”。通过这种对应,可使一些抽象的概念、复杂的数量关系借助其背景图形的性质,变得直观,便于找到解决问题的思路及方法。

二、数形结合思想的应用

(一)在方程与不等式中的应用

1.方程问题

判定一个二次方程根的个数时,通常用根的判定式“△”。然而,当一个二次方程中的未知数的取值范围受限制时,用“△”值判定根的个数就困难了,用数形结合法则可避免。

例:方程 有且只有一个实数根,求实数 的值;若该方程有两个不等的实数根,求 的取值范围。

分析 设方程左边为 ,其图形为半圆 ;方程的右边为 ,其图形为恒过点 的直线,研究方程 根的个数问题就可以转化成研究半圆与直线交点个数的问题。

解(1)建立如图1所示的坐标系,过点 作半圆的切线 ,则 与 轴平行且斜率为0.又 .由图知,直线 与半圆 只有一个交点时,即方程 只有一个实根时, ,或 或 .

(2)由图知,当 时,直线 与半圆 有两个交点,即方程 有两个实数[4].

2.不等式问题

含绝对值不等式的解法:

解含绝对值的不等式,把它转化成等价的图形,观察其结果比较简单.对于含参数的绝对值不等式问题,用数形结合,能以一种动态的眼光来看待静止的画面,并通过操作和观察来领会其中的关系。

例:已知关于 的不等式 的解集为 的子集,求 的范围.

分析 构造出图形后,让 绕点 旋转,通过旋转得出正确的结论.

解 设方程左边为 ,右边为 做草图,由图2可知 >-1.

一元二次不等式,一元高次不等式和分式不等式的解法:

我们知道一元二次函数 的图像是一条抛物线,当 时,抛物线的开口向上;当 时,抛物线的开口向下.当 时,方程 有实根,表示该抛物线与 轴有交点;当 0时,方程 没有实根,表示该抛物线与 轴无交点.如何运用数形结合法求解不等式 的解集呢?

其内容和步骤是:(1)分别将一元二次不等式、一元高次不等式、分式不等式中分子和分母的最高次项系数“若负化正”.(2)判别相应的方程是否有根,有根则解出方程的根.(3)将根在平面直角坐标系中标出来.(4)从右向左,从上向下将根用一条曲线一一串起来.(5)判断解集.以最高次项系数为正的不等式为准,若该不等式为大于0的不等式则看 轴上方的曲线;若该不等式为小于0的不等式,则看 轴下方的曲线。

例:解不等式

解 因为 ,所以不等式可以变形为 ,而方程 的 ,所以方程有实根 .这说明抛物线 与 轴有交点.如图3所示:

因为 ,所以应看 轴上方的图象,即 或 ,所以不等式 的解集为 .

例:解不等式

解 由题设知,原不等式可变形为 ,方程 有实根为 .说明曲线 与 轴有交点,如图4所示:

因 ,所以看 轴下方的图象,该图象有两部分:一部分在-1和2之间,另一部分在3和3之间,所以不等式 的解集为 .

(二)在集合中的应用

图示法是集合的重要表示法之一,对一些比较抽象的集合问题,在解题时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法,往往可以使问题直观化、形象化,从而灵活、直观、简捷、准确地获解。

而在讨论集合之间的关系时常见的有两种情况,一种是没有写出具体元素的集合,另一种是给出具体条件的集合。对第一种情况要具体考察它们之间的关系比较困难,只需按题设作出集合的图示(韦恩图)即可解决;而第二种情况可先求不等式的解集,将各个集合的取值范围在数轴上表示出来,观察它们之间的关系,这样就可以化抽象为具体,化难为易。

例:设 为全集, 是 的三个非空子集,且 ,则下面论断正确的是()

分析 这是一种没有写出具体元素的集合,所以可按照题设作出集合的图示(韦恩图)即可.

解 因为 所表示的部分是图7中的阴影部分, 所表示的是图7中除去 的部分,所以 ,故选 .

例:已知集合 ,若 ,求实数 的取值范围[7].

分析 这类集合用不等式表示,由图8所示,这时利用数形结合的方法解决形如 的问题,可避免分类讨论,解法新颖,巧妙.

解 设 ,由 ,可得: ,即 ,解得: ,所以 的取值范围是 .

(三)在函数中的应用

函数是中学数学中的重要内容之一,也是学习中的重难点。同时又是“数形结合”思想方法体现得最充分的章节。利用函数的图象既有利于掌握一次函数、二此函数、反比例函数、指数函数、对数函数的性质,又能运用”数形结合”的方法去解决某些问题。

运用数形结合方法求函数问题,主要是通过分析代数式的含义来揭示其几何意义,探寻解题的切入点,从而使问题获得解决。

1.求函数的最值

例:求函数 的最小值,并求相应的 值[4].

分析 将函数关系整理得: 将其看成点 的距离和最短的问题.

解 如图9所示,根据函数关系式的几何意义,将此问题转化为在 轴上求一点 ,使 最短.由于 在 轴的同侧,作出点 关于 轴的对称点 ,易得 的坐标为 ,则 三点共线时 最短.此时 ,可求得直线的方程为 .

联立方程 解得 .所以当 时, .

2.求参数的取值范围

例:设定义在 上的偶函数 在 上单调递减,若 ,求实数 的取值范围.

分析 利用偶函数图象关于 轴对称,以及偶函数的定义: ,有 .

解 如图10,根据题设条件可知: ,解得 的范围: .

3.求解方程转化成图像来解

例:若方程 有两根 ,且 ,求 的取值范围.

分析 若按照一元二次方程的知识来解,要列出两个不等式: ,容易出现计算错误,而且又费时,反之,根据图象来解既直观又简单.

解 根据题意知 ,图象开口向上,且与 轴有两个交点,分布在原点的两侧,由此画出示意图(图11),从图上可知抛物线与 轴的交点必在 轴的负半轴,也就是说,当 时, 即 ,所以 的取值范围是 .

数形结合思想在应用过程中,主要从两方面着手:一方面,可以“以形助数”,从“形”入手,通过对图形的观察处理,实现抽象概念与具体形象的联系与转化,化抽象为直观,化难为易;另一方面,“以数解形”,可以由“数”入手,将有些涉及图形的问题转化为数量关系来研究,对图形作精细的分析,从而使人们对直观图形有更精确、理性的理解。

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