曹文栋　童莉

[摘  要] 数学课程标准强调培养学生的逻辑推理素养，“相交线与平行线”作为初中几何学习的起始部分、严格证明的开端，其目标在于帮助学生树立几何意识，养成推理与证明的能力，但教学中学生往往在逻辑推理、证明过程书写方面存在一定困难. 在初中“相交线与平行线”相关证明专题教学过程中引入“逆向推理”的思维方式，有助于培养学生的逻辑推理能力，为之后几何内容的学习奠定良好基础.

[关键词] 逆向推理;相交线与平行线;核心素养

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式[1]，数学学科核心素养也将“逻辑推理”作为主要素养之一. “图形与几何”内容的学习是培养逻辑推理素养的有效方式，其中“相交线与平行线”部分作为初中“图形与几何”学习的起始内容、严格证明的开端，对学生逻辑推理素养的培养尤为重要. 传统教学中，教师往往直接给出固定的推理组合，让学生进行记忆训练，形成固定模式，这对解决基础的推理题目有效，但对稍微复杂的推理问题，學生就会找不到思路，特别是对于涉及作辅助线的推理问题，学生感觉尤其困难.

逆向推理的思维方式就是从问题出发[2]，先思考证明此问题需要什么条件，再结合已知条件及相关定理，逐步找到所有的条件，形成严密的思维结构，再从已知条件到目标问题，书写完整求证过程. 这样可以有效帮助学生学会从问题出发，养成逐步化归的思维方式，突破几何题目、强化数学思维、形成逻辑推理核心素养.

初中“相交线与平行线”的内容分析

“相交线与平行线”内容属于初中数学“图形与几何”知识板块，该板块是数学知识体系的重要组成部分，主要是运用逻辑推理的方法来研究平面图形性质的学科内容[3]，它强调学生的逻辑思维和推理能力的培养. 从初中几何课程整体来看，在“相交线与平行线”部分才刚刚引入较为规范的证明过程，若掌握好进行推理证明的思考步骤及思维方式，则有助于学生在更深入的图形证明中进行逻辑推理.

在当前主流的初中数学教材中，“相交线与平行线”在整个几何内容中的位置有一定的差异. 人教版将“相交线与平行线”一章设置在七年级下册（第五章），它是继七年级上册（第四章）“几何图形初步”后，对图形与几何的更进一步学习. 北师大版将“相交线与平行线”设置在七年级下册第二章（第八章），又在八年级上册第七章（第十九章）专门设置了“平行线的证明”进行证明过程的教学. 华师大版将“相交线与平行线”一章设置在七年级上册（第五章）. 具体见表1.

各教材“相交线与平行线”章节具体内容也有略有差异. 在人教版教材中，该章不仅包括相交线以及平行线的判定与性质等内容，还专门设置了“命题、定理、证明”专题，引入“真命题”“假命题”以及“证明”的概念，开始进行严格的证明教学. 北师大版教材中，该章包括两条直线的位置关系、探索直线平行的条件以及平行线的性质等内容，还设置了“为什么要证明”专题帮助学生树立“要判断一个数学结论是否正确，必须进行有根有据的证明”的观点. 在华师大版教材中，该章在小学通过观察体会相交线与平行线的基本属性的基础上，通过数学说理的方法从公认的基本事实推导出了平行线的判定方法及性质，并在“平行线的判定”内容后以“读一读”的拓展阅读形式对“推理”的数学思想进行了介绍，强调了“归纳推理”与“演绎推理”的区别，同时在章节“小结”中说明了“演绎推理”在结论证明中的作用. 具体见表2.

从表上可以看出，各类教材虽然对“相交线与平行线”的内容设置方式不一，但都分为了两个步骤，一是学习相交线以及平行线的判定与性质的基本知识;二是依托定理的学习进行严格证明的教学，特别是北师大版本将这两个步骤做了严格的区分. 不同教材对“推理”和“证明”两个概念的讲解程度不同，但均表达了“推理和证明是有区别的”的观点，推理是证明过程中的组成部分，在“证明”的教学过程中重点是要让学生理解证明的必要性和证明的过程. “相交线与平行线”章节的设置，承担着进行“证明”教学的功能，因此，在“相交线与平行线”的教学过程中，不仅要关注学生对二者概念的认识，还要帮助学生深入理解“推理”与“证明”，培养学生进行严格证明的能力.

逆向推理思维方式在初中“相交线与平行线”教学中的应用价值

1. 帮助学生衔接发展小学的推理方式

初中几何教学主要是引导学生主动分析问题，运用所学知识从条件出发进行分析和推导，寻求各种推理所需的证据，最终解决问题[4]. 在“相交线与平行线”教学阶段，学生刚刚经历完小学阶段的学习，逻辑推理能力较弱，才开始接触“严格证明”的相关知识，在“寻求各种推理所需的证据”的能力上还有待提高，对于逻辑推理和规范证明方面都存在较大问题. 特别是小学阶段对“图形与几何”的内容更关注学生对内容的“认识”阶段，更多采用观察、操作、简单推理等方式进行学习，缺少了“严格证明”的步骤. 图尔明关于推理的定义强调了要“注重考虑逻辑结构的完整性和正确性”.[5]学生进入初中阶段后思考事物缺乏逻辑性，表现出的现象就是面对几何题目缺乏整体思考，能看出结果但不会说理由、能判断求解但不会写过程. 因此，在教学过程中采取必要手段引导学生培养逻辑推理能力是非常有必要的.

2. 有助于发展学生思考问题的主动性

“逆向推理”的思维方式更关注于学生转化问题的过程，帮助学生从问题出发，寻找可以用于求证结论或求解问题的条件. 寻找条件的过程就是化归思想的体现，将已知的问题化归为更容易探究或已经解决的问题[6]，通过多次化归，可以转化至已知的条件.

同时，新课程改革要求学生在学习过程中处于主体地位，教师通过交流和引导的方式参与到学习和探索的过程中. 此模式下，教师主要以引导式提问启发学生思考[7]，这也使此方式成为落实学生的课堂主体地位、培养学生自主学习能力的有效途径.

逆向推理思维方式在初中“相交线与平行线”教学中的应用案例

逆向推理的思维方式在“相交线与平行线”部分的应用主要体现在以下几个方面.

1. 引导关注论证目标，积极关联已知条件

刚刚接触几何题目的学生面对众多已知条件，常出现不知道该如何使用条件推导的情况. 通过逆向推理的方式，可以帮助学生从目标出发，寻找需要使用的条件. 在逆向推理的过程中，需要不断引入新条件以转化问题，这样便可以帮助学生充分运用已知条件.

案例1 如图2，直线a‖b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，且BA⊥CA，点D在线段BC上，连接AD，且AC平分∠DAF，试说明∠3=∠5.

分析 该题目涉及的知识点不多、难度不大，主要是利用垂直、平角、角平分线等定义，进行平行的判定，在学生刚开始学习几何阶段，逆向推理的解题思路能有效帮助学生理解已知条件的转化. 如图3所示的思维导图，从结论出发，思考时充分考虑等量代换，将无法直接求证的角的关系转化为另外的角的关系，从而转化为可以解决的问题. 经此训练，学生能熟练进行转换，并且知晓无法求证时使用已知条件进行转换，这大大提高了学生理解题目的效率.

2. 探求定理形成原理，加深对定理的理解

对于数学的命题而言，前提和结论都是已知的，因此基于数学命题验证的数学教学，可以在验证过程中培养学生关于证明的逻辑思维能力[8]. 在教学过程中，往往就可以结合定理等内容对“逆向推理”思维方式进行引入，帮助学生理解定理的内在逻辑，加深学生对定理的理解.

案例2 定理教学“对顶角相等”. （如图4，已知：直线a，b相交于点O，证明：∠2=∠3. ）

在教学过程中，“对顶角相等”是很直观的，学生可以直接感受到，但如何证明，学生却难以下手. 通过“逆向推理”的思维方式，可以有效帮助学生找到问题所在，即要证明一组对顶角相等. 明确问题后，学生便很容易知道要先找到一组对顶角，再对其进行转化，证明这组角相等.

3. 激發思维的灵活性，规范书写证明过程

在图形与几何相关内容的问题解决中，解题方法往往不是唯一的，当教师给出一种思路后，学生很难再思考其他解题思路. 在逆向推理的过程中，转化问题的方法也是多样的，教师在引导学生进行推理时，可以列举多条路径，让学生对同一题目的多种解题思路进行探索，同时学生可以通过对比感受哪一种思路是最简便的，从而激发学生思维的灵活性.

案例3 如图6，已知AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，∠1=∠2，试说明AB∥DG.

分析 该题目是一道简单的利用平行线的判定方法进行简单推理的试题，在学生求解过程中，大多数都能运用较为简单的方法，但教师在讲解过程中，引入了一个相对复杂的方法，这对于学生来说不太接受. 运用逆向推理的思维方式，从目标出发能自然而然地想到三种方法，在推理过程中也能让学生明显感受到不同解题方法的差异.

同时，学生在解题过程中，通过逆向推理能够形成详细的思维路径，学生根据构建的逆向推理思维过程，从思维导图底部开始书写证明过程，能够清楚展示证明过程，使解题步骤条理清晰、具有逻辑性.

通过对逆向思维导图的反向书写，可以使解答思路清晰、书写步骤规范. 在此展示案例3的方法二（通过证明内错角相等得到两直线平行的结论）的证明过程. 具体如下：

因为AD⊥BC，EF⊥BC，

所以AD∥EF（同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行），

所以∠1=∠BAD（两直线平行，同位角相等）.

又因为∠1=∠2（已知），

所以∠BAD=∠2（等量代换），

所以AB∥DG（内错角相等，两直线平行）.

结语

数学教育主要是教给学生数学思维，教师在讲授几何题目引入逆向推理的思维方式时要坚持以学生为本，更多地关心学生的思维过程[8]，主要以引导式的教学模式启发学生自行挖掘条件、转移已知内容，切忌直接告诉学生下一步要找什么条件、应该怎么做. 当学生能熟练感知逆向推理的思维方式并尝试独立自主克服难题后，学生就能独立自主地快速、规范、高效解题.

参考文献：

[1] 王旭，童莉. 比翼齐飞：合情推理与演绎推理[J]. 数学教学通讯，2012（36）：14-15.

[2] 王斌. 数学证明中的逆向思维教学法[J]. 重庆交通学院学报，2005（01）：158-160.

[3] 黄灿. 中俄初中数学教材几何内容呈现方式对比研究[D]. 渤海大学，2017.

[4] 胡家车. 新课程改革下对初中数学教师的要求[J]. 新课程（中），2017（02）：226.

[5] 张侨平，邢佳立，金轩竹. 小学数学教学中数学推理的理论和实践[J]. 数学教育学报，2021，30（05）：1-7.

[6] 黄翔. 数学方法论选论[M]. 重庆：重庆大学出版社，1995.

[7] 窦腊娜. 浅谈初中数学问题式教学的应用策略[J]. 中学数学，2021（02）：92-93.

[8] 史宁中. 试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理[J]. 数学教育学报，2016，25（04）：1-16+46.