黄安锦

[摘  要] APOS理论关注学生怎么学和怎么帮助学生去学两个核心问题，让数学概念知识的生成和发展的过程与学生认知结构的生成过程自然融合，文章就相关理论的认识及教学中的实践设计进行探索.

[关键词] APOS理论;数学概念;算术平方根

问题的源起

在日常教学中，有些教师容易忽略概念的生成，通过简单的例子讲解直接抛出定义，更重视概念的机械识记和重复的练习巩固. 学生未曾经历概念的形成过程，很难理解概念，甚至混淆概念. 概念教学包括了概念的生成、理解、保持和应用四个环节，当前教学中教师更侧重于概念的应用，而概念的生成环节往往会被忽略. 在初中概念教学过程中，学生对数学现象的抽象与归纳能力没有得到发展，容易造成概念记得住，就是用不好的现象. 新课程标准强调要加强学生对基本概念的理解，核心概念贯穿教学，并帮助学生构建基本的知识体系，逐步加深对核心概念的理解，掌握其中蕴含的基本思想，最终发展成为学生终身受用的学科素养.

杜宾斯基等人在建构主义理念基础上通过实践研究提出了APOS理论，他们认为概念的形成要重视“学生怎么学习概念”以及“怎样才能帮助学生去学好概念”，该理论由活动、过程、对象和图示四阶段组成（如图1），凸显“学生的主体性和教师的主导性”.

以“算术平方根”为例的教学实践

1. 活动阶段——问题情境的创设

在活动阶段中，教师通过问题情境引导学生参与操作，让学生在操作过程中回顾与新概念学习相关的前知识，触发学生的认知冲突，让新概念在实际中显现和概化，为情境的抽象和概念的生成奠定基础. 在这个过程中，问题情境的设计一定要注意数量和难度上的双适度，既要给予学生充足的操作空间，也要找准学生的最近发展区，让学生“看得见、够得着”，太难或太泛都不利于学生对概念生成过程的观察、操作、反思和总结.

（1）学习准备

练习1：请说出20以内所有自然数的平方.

练习2：求出下列各式的值.

课前通过练习帮助学生回顾前面所学的几个知识点，为本节课教学活动的开展作好铺垫，这也是学生对后面实际问题进行操作思考的起点.

（2）情境导入，引发认知冲突

情境一：如图2，请想办法将下面两个边长为1的小正方形拼成一个更大的正方形.

由于学生在前面学习无理数时接触过此图，所以好奇心和求知欲瞬间被激活了，很快就投入小组合作与讨论中，最终得到以下几种操作方案（如图3）：

师：拼出来的这个大正方形的面积是多少？

生1：2.

师：设这个大正方形的边长为x，那么x应该满足什么条件？

生2：x2=2.

生3：x一定是正數.

师：那在前面的学习中，你能想办法求出x的值吗？

学生陷入沉思，尝试用已知的知识解决问题未果.

师：上面的问题能否用数学语言来描述？

生4：已知正数x的平方等于2，求x的值.

师：我们带着这个问题进入今天的学习，认识这个数.

2. 过程阶段——探究体验的过程

过程阶段是数学概念生成的重要环节，在此阶段中，教师通过活动设计引导学生通过自主探索、小组合作等形式对具体的问题进行实验和分析，并对学生探索的方向和方法提供适度的指导. 学生亲历数学概念从具体化问题转化为抽象化的概述，从特殊情况的探索转化为对一般情况的思考，从文字语言的描述转化为数学语言符号化的表示，从对新知识的感性认知转化为理性认知的生成过程，围绕问题积极思考、尝试探究、交流反思、归纳总结，最终形成数学概念.

（1）设计问题，引导主动探索

师：算术平方根是什么？它与我们所学过的知识有何联系？我们能否从现实生活中通过我们已经掌握的数学知识对算术平方根的概念进行概括？应该从什么地方入手去探索这个新的概念？

生5：上面的例子中“一个正数的平方等于2”，我们前面学过平方的运算，能不能从平方运算入手去试试看？

师：好，那我们就从特殊的正方形面积和边长来看看能否解决上面的问题？

情境二：你能根据某正方形的边长求出这个正方形的面积吗？

生6：简单，边长×边长=面积.

师：很好，那请根据已知条件填写表1. （引导学生填表，并引入新情境）

情境三：为了布置教室，小明想剪出一块面积为36dm2的正方形彩纸，用于剪纸设计，请问这块正方形彩纸的边长应取多少比较合适？

生7：这块正方形彩纸的边长应该为6dm.

师：为什么？

生8：因为62=36，所以应该为6dm.

师：很好，那如果小明需要剪出的正方形的面积是4dm2、25dm2、100dm2、dm2呢？

（引导学生填表2）

师：上面两个表中的运算有什么关系？

生9：表1是已知边长求面积，表2是已知面积求边长，它们是互逆的.

师：上面的例子中，已知x2=a，a叫做x的平方，那么x叫做a的什么呢？

很多学生脱口而出：算术平方根.

师：怎样正确描述算术平方根呢？请从课本中找出相关的概念.

板书课题，展示算术平方根的定义（暂不引出符号表示）.

（2）初步应用，了解概念

师：请同学们相互谈论，列出一个数，并尝试说出这个数的算术平方根. （学生活动）

师：在所有的数中，有个数非常特别，并通过多媒体出示“0”，请问它有算术平方根吗？如果有，它的算术平方根是多少？

生10：没有.

生11：有，因为02=0，所以0的算术平方根是0.

其他学生恍然大悟，教师通过多媒体展示“0的算术平方根是0”.

练习1 填空题.

因为52=25，所以5是25的________;

因为（  ）=100，所以____是____的算术平方根.

练习2 求出下列各数的算术平方根.

①4 ②25 ③0.81 ④

教师对例2中“求900的算术平方根”进行示范解答并板演，强调答题规范性.

（3）引入符号，追寻本源.

师：有没有什么办法可以让上面的求某个数的算术平方根的解答过程更加简洁？

生10：可以像平方一样用符号来表示算术平方根.

师：很好，用符号来描述一个非负数的算术平方根既简洁又方便. 历史上古人曾用不同的符号描述算术平方根，直至17世纪，法国数学家笛卡尔创造了“”，它的出现得到了数学界的公认，一直沿用至今. 一般地，我们把a（a≥0）的算术平方根记为，读作“根号a”，例如5的算术平方根可写成，例2中“900的算术平方根是30”可以写成“=30”.

练习3 求下列各式的值.

3. 对象阶段——交流形成的对象

本阶段是认识数学概念本质特征的重要环节，也是教师指导学生通过探究并加深对概念理解的环节. 本环节主要由师生共同开展活动完成. 在上一阶段得出概念后，教师通过变式练习或探究活动帮助学生完善对概念的理解，从新的角度或其他非本质特征辨析概念，以凸显新概念的本质特征. 教师在本阶段中应注重学生对新概念本质和规律的发现，在教学活动中及时反馈学生出现的错误，把握宝贵的可再生知识，引导学生在辨析中发现问题和提出问题，并尝试通过探索分析问题和解决问题，促使學生对新概念的巩固并尝试应用.

在练习3中，教师通过巡视，发现第4小题有部分同学的答案为“= -2”，通过实物投影展示，并提出思考：=-2，大家对这题答案有异议吗？

很快就有学生抢答：负数没有算术平方根.

教师紧接着通过多媒体出示问题：“（1）负数有平方根吗？为什么？（2）一个数如果有算术平方根，它需要满足什么条件？”教师组织学生小组内讨论并得出答案：任何正数都有一个算术平方根，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根. 一个非负数的算术平方根同样是非负数;当a≥0时，≥0.

练习4 判断题.

①16的算术平方根是4;

②因为（-3）2=9，所以9的算术平方根是-3;

③5是-25的算术平方根，9的算术平方根是-3;

④100的算术平方根是10，0.1的算术平方根是0.01.

练习5 解答题.

①的算术平方根是多少？

②下列各式是否有意义，为什么？

-

教师组织学生自主练习，并通过抽查提问反馈学生答题情况. 对于学生答题中的错误，通过小组帮扶和全班辨析加以解惑，让学生的错误反馈形成再生知识，辐射到其他可能对算术平方根特性不熟悉的学生上. 教师也应根据题目中的特例加以强调，如：“正数的算术平方根是正数，所以即使（-3）2=9，9的算术平方根是3而非-3”“-是指2的算术平方根的相反数，所以该式有意义”“判断一个根式是否有意义，不要只关心根号里面有没有负号，而要看清被开方数是否为非负数”等等，并对题目进行变式训练，让学生从非本质特性中找到算术平方根的本质，深入对新概念的理解和应用.

练习6 =_________，

=_________，

-=_________.

练习7 若有意义，那么a_____（填取值范围）.

4. 图示阶段——概括形成的图示

本阶段旨在让学生从认知结构中产生新概念，帮助学生构建综合心理图示，扩展新概念的外延，以促进学生对新知识的掌握和应用. 教师在此阶段中，应通过综合训练和课堂小结，一方面将学生新学概念与学生已有认知结构联系起来，对本节课的相关问题进行综合思考;另一方面通过课堂小结，帮助学生通过简单的思维导图或结构图示巩固对新概念定义及其本质特征的理解，让本节课知识得以延续和拓展.

练习8 若x-5的算术平方根是3，那么x=_______.

练习9 计算.

①（-1）2+-

②+（-）

练习10 已知5是a+2+1的算术平方根，那么a=_______.

课堂小结：

（1）通过本节课的学习，大家有何收获？

（2）表示什么意义？

（3）请根据今天所学内容绘制知识结构图样，说说你掌握本节知识的做法.

（出示知识结构图（图4），加深学生理解）

通过练习和师生共同小结，学生对算术平方根的概念和意义有了更深刻的理解，也掌握了如何判断一个有理数是否存在算术平方根及如何去求一个非负数的算术平方根，学生的知识结构得以生成和发展.

结语

杜宾斯基说过：“学生学习数学概念需要进行心理建构，只有在自身已有知识、经验的基础上，主动建构新知识的意义，才能达成理解.”APOS理论的提出唤起了对如何开展数学概念学习的新一轮思考，它还指出教师在设计教学活动过程中要关注到学生的心理构建过程，由“教会学生如何做”转向“教会学生如何学”. APOS理论强调学生在教师的精心设计情境引导下，主动参与学习并通过同伴互助、自主探索等形式掌握新概念的本质特征，让学生成为课堂真正的“主人”，让学生的数学核心素养在数学概念的学习中自然养成.