基于学科育人的高中数学课堂评析

2021-12-19李俊

中学教学参考·理科版 2021年12期

关键词：学科育人课堂评价立德树人

李俊

[摘要]党的十八大把立德树人作为教育的根本任务，学科教学是落实立德树人任务的重要途径.教师要以德育为首，通过课程育人，渗透立德树人的教学思想，将学生培养成具备适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力的人.

[关键词]立德树人;学科育人;课堂评价

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2021）35-0008-03

[课例]直线的参数方程.

一、新课引入

创设情境：在2008年汶川大地震中，由于公路受地震影响造成路面塌陷，导致救援车辆无法到达灾区，很多被困群众缺乏生活物资和医疗药品，需要通过空投将救援物资投放到指定地点，已知一架救援飞机在离地距离490 m高处，以150 m/s的速度做水平直线飞行（不计空气阻力，重力加速度[g=9.8 m/s2]），记物资投放后飞行的时间为[t]，飞机在离救援点水平距离为多少时投放物资，可使其准确落在指定地点？

点评：课堂引入是很好的育人时机.本节课教师以汶川大地震为背景渗透德育教育.汶川大地震是一场灾难，通过抗震救灾的感人事迹激发学生的爱国热情，让学生具有积极价值取向，形成良好的品德.教师抓住契机，分享防震自救小知识，提高学生的自救能力.学科育人就是学生通过学科学习逐步形成正确的价值观，拥有优秀品格，具备关键能力.

问题1：这个实际生活问题涉及什么数学模型？

如图1建立直角坐标系，设救援物资运动时的坐标为[M（x， y）]，只需求出动点[M]的坐标[（x， y）]满足的二元方程[f（x， y）=0]，令[y=0]解出对应的[x]即可.然而在这个问题中，水平位移量[x]和高度[y]是由两种不同的运动得到的，水平方向上是匀速直线运动，竖直方向上是自由落体运动，直接建立两者之间的等量关系比较困难，我们该怎么办呢？

我们发现水平位移量[x]和高度[y]都与时间[t]有关，因此可以将[x]和[y]表示成与参数[t]有关的式子[x=150 t，y=490-4.9 t2，]当[y=0]时对应的[t]就是救援物资落地所需的时间，此时[t=10]，由此得[x=150×10=1500]，即飞机在离救援点的水平距离为[1500]米时投放物资，可使其准确落在指定地点.

从这个问题我们感受到参数方程在解决某一些问题上具有优越性.下面我们来探究如何求直线的参数方程.

点评：教师设问 “这个实际生活问题涉及什么数学模型？”让学生经历数学抽象，建立数学模型，发现其背后的数学问题就是求出救援物资在离开飞机后飞行的轨迹，计算救援物资从距离地面[490 m]的高度落地所需的时间，从而计算出这段时间产生的水平位移.学生在尝试解决问题的过程中发现要直接建立水平位移量[x]和高度[y]之间的等量关系很困难，但通过运动时间[t]就能够轻松地将两个变量联系起来，从而达到解决问题的目的.整個过程让学生感受引入参数在解决某些问题上的优越性.教师的这一设计，让学生在有趣的数学活动中探索解决问题的方法，增强其学习的动机，解决问题的成就感让学生体验数学的价值，形成学习数学的内驱力，不知不觉在“学科教学”中渗透“学科育人”.

二、概念形成

之前圆锥曲线的参数方程大家已经很熟悉，也能够理解各种曲线的参数的几何意义.如果要求直线的参数方程，是否还能用角作为参数呢？

问题2：已知直线上一点[M0（x0， y0）]，直线的倾斜角是[α]（如图2），是否还能用角作为参数？怎样建立已知直线[l]的参数方程？如何选择恰当的参数？

点评：本环节教师通过问题导学，实现思维育人.教师通过层层设问：已知直线上一点[M（x0， y0）]，直线的倾斜角是[α]，是否还能用角作为参数？怎样建立已知直线[l]的参数方程？如何选择恰当的参数？这一系列的问题为学生的探究方向及思维策略提供了明确的导向，为学生提供了实践数学思想和数学方法的机会，在知识发生、发展的过程中促进学生思维的发展.

【学生探究】求直线[l]的参数方程.

方案1：如图3构造[Rt△MNM0]，在[Rt△MNM0]中，[cos α=x-x0MM0]，[sin α=y-y0MM0]，

则[x=x0+MM0cos α，y=y0+MM0sin α.]当点[M]和[M0]重合时，上式也成立.若点[M]在[M0]的另一侧呢？（如图4），则得到的直线参数方程为[x=x0-MM0cos α，y=y0-MM0sin α.]

为了统一上述两个方程，我们不妨令[MM0=t]，可得直线[l]的参数方程为[x=x0+tcos α ，y=y0+tsin α .]（[t]为参数）

其中参数[t]的几何意义是[t]表示直线上任一点[M]到定点[M0]的距离.

方案2：从特殊情况获得启发，若直线[l]落在[x]轴上，直线[l]上点[M]的运动等价于向量[M0M]变化，但无论向量怎样变化，都有[M0M=te].因此点[M]在[x]轴上的坐标只与[t]有关，从而可以选择[t]作为参数来获取直线[l]的参数方程.那么直线[l]不落在[x]轴上时，点[M]的坐标是否仍然只与[t]有关？

由于在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是直线的方向和直线上一个点，直线上点[M（x， y）]的变化就是向量[M0M]的变化，而向量[M0M]可以由直线的一个单位向量[e]来量化，即[M0M=et]，其中[t]的一个值可以唯一对应直线上的一个点;同样，直线上任意一个点[M（x， y）]对应唯一[t]的值，所以可以考虑使用[t]作为直线的参数.

直线[l]的单位方向向量记作[e=（cos α， sin α）]，[α∈0， π]，那么[M0M∥e]，因此根据共线向量的充要条件可知，存在实数[t]，使得[M0M=te]，即[（x-x0， y-y0）=t（cos α， sin α）].

于是有[x-x0=tcos α，y-y0=tsin α（t 为参数）]，因此，把上面的方程叫作经过点[M0（x0， y0）]，倾斜角为[α]的直线[l]的参数方程.注意：直线上的任意一个点都唯一对应一个参数[t].

点评：本环节教师让学生参与数学学习活动，发展学生的思维.本节课的难点是如何引入恰当的参数，从而建立直线的参数方程.如何突破难点？教师在这里的设计也是颇费心思.教师不急于公布结果，而是放手让学生积极实践，探索参数的合理性，于是在“探索→发现→再探索”的过程中，学生不断优化方案，教师进一步引导学生通过类比、联想的思想方法，将直线和单位向量联系起来，这样引入的参数，能快速找到直线上任意一点与一个定点的数量关系和图形关系.教师给学生提供参与数学学习活动的机会，让学生在探究的过程中感悟渗透其中的数学思想与方法，建立判断与选择的自觉意识，养成根据自我需要做出正确选择的学习习惯，提升其思维品质和数学素养.

三、概念深化

问题3：直线[l]的参数方程中参数[t]的几何意义是什么？

因为单位向量[e=（cos α， sin α）]，则[e=1].因为[M0M=te]，则[M0M=te=te=t].

于是得到参数[t]的几何意义：直线[l]上的动点[M]到定点[M0]的距离等于参数[t]的绝对值.

问题4：参数[t]的符号有什么意义？

当[0<α<π]时，[sin α>0]，所以直线[l]的单位向量[e]的方向总是向上的.

（1）若[t>0]，由[t=y-y0sin α⇒y-y0>0⇒y>y0]，知点[M]在点[M0]上方，则[M0M]的方向向上;

（2）若[t<0]，由[t=y-y0sin α⇒y-y0<0⇒y<y0]，知点[M]在点[M0]下方，则[M0M]的方向向下;

（3）若[t=0]，则[y=y0]，从而点[M]和点[M0]重合.

点评：教师在这个环节中强化数学语言教学，提升学生的数学抽象素养.自然语言由于其通俗易懂的特点更容易被学生使用，但较难直观体现知识的内在结构特点，符号语言则弥补了这一不足，它能用简洁的符号高度概括和表达数学对象内涵，因此教学生学会三种数学语言的转换是教师在课堂教学中的一个重要任务.本节课中，教师在学生对数学模型具有一定感性认识之后，引导学生利用向量的线性关系建立[x， y]的等量關系式，最终用参数方程的形式准确描述两个变量[x， y]之间的内在联系，帮助学生提高了语言表达的抽象层次，提升了数学抽象素养.

四、应用探索

[例题1]已知直线[l]：[x+y-1=0]与抛物线[y=x2]交于[A]，[B]两点，求[M（-1，2）]到[A]，[B]两点的距离之积.

解法一：由[x+y-1=0，y=x2，]可知两交点坐标分别为[A-1-52，3+52]，[B-1+52，3-52]，

所以[MA·MB=]

[-1--1-522+2-3+522]·[-1--1+522+2-3-522]

[=（3-5）·（3+5）=2].

解法二：将直线[l]的参数方程[x=-1-22t ，y=2+22t.] （[t]为参数）代入抛物线方程得[t2+2t-2=0]，

解之得[t1=-2+102]，[t2=-2-102].由参数[t]的几何意义得[MA⋅MB=t1⋅t2=t1t2=2].

解法三：将直线[l]的参数方程[x=-1-22t，y=2+22t.] （[t]为参数）代入抛物线方程得[t2+2t-2=0]，

所以由韦达定理可知[t1+t2=-2，t1t2=-2，]所以由参数[t]的几何意义得[MA⋅MB=t1⋅t2=t1t2=2].

点评：让学生在自主解答的过程中去感受和体会引入参数的优越性，解析法容易想，但是不容易算，参数法的引入就使问题的计算趋于简单化，这也是引入参数方程的目的所在.

五、小结归纳