孙凤阳 刘君

【摘要】证明三角形全等是初中几何学习中的一种重要的解题方法，在证明三角形全等时有时需添加辅助线，这对学生而言，往往是难点.教师应当善于归纳总结一些常见的辅助线作法，从中找出解题规律，进而有效解决问题.

【关键词】全等三角形;辅助线;解题方法

一、引 言

添加辅助线是平面几何问题求解的重要手段，通过添加辅助线可以将复杂的问题简单化，对于不同情形的几何问题，应当选择适当的方法予以解答.下面介绍证明三角形全等时常见的六种辅助线作法以及相关例题，分别是截长补短法、倍长中线法、作平行线法、补全图形法、角平分线法、作垂线段法.

二、截长补短法

对于求线段和差的类型题，当题中没有明显的等量关系式时，我们可以将较长的线段截短，或者将较短的线段延长，从而获得相等的线段，为三角形全等的判定增添条件，通过证明三角形全等，进而得出线段的和、差、倍、分关系.

图1例1 如图1，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC=AB.

分析 题中不能直接得出AD+BC=AB，所以需要构造相等的线段.在AB上取一点H，使AD=AH，证明 △DAE≌△HAE，得到∠EHA=∠EDA，进而证明△BEH≌△BEC，得到BH=BC，从而证明AD+BC=AB.

证明 在AB上截取AH=AD，连接EH.

∵AE平分∠PAB，

∴∠DAE=∠HAE.

在△DAE和△HAE中，

AD=AH，

∠DAE=∠HAE，

AE=AE，

∴△DAE≌△HAE（SAS），

∴∠ADE=∠AHE.

∵AD∥BC，

∴∠ADE+∠C=180°.

∵∠AHE+∠EHB=180°，

∴∠EHB=∠C.

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBH=∠EBC.

在△BEH和△BEC中，

∠EHB=∠C，

∠EBH=∠EBC，

BE=BE，

∴△BEH≌△BEC（AAS），

∴BC=BH，

∴AD+BC=AH+BH=AB.

總结 截长补短法是证明线段和、差、倍、分关系的有效方法，通过将线段截长或补短，构成相等的线段，从而构造全等三角形，再利用三角形全等的有关性质证明结论.

三、倍长中线法

在几何问题中，若已知……