李维坚

[摘  要] 在平时的教学中，应注重通性通法的积淀，它是一把利刃，可以应对各种变化，万变不离其宗.通性通法虽慢，却处处彰显着数学思维的光芒.学生在使用通性通法的过程中，思维可以不断得到螺旋式上升.

[关键词] 通性通法;技巧;解题规划

2020年，山东等省份开始启用全国新高考卷，在试题的结构形式上发生了变化，比如出现了多选题.但纵览整份试卷，细细探究，我们依然可以感受到通性通法在解题中所发挥的巨大作用.以第21题为例，可以看到平时的解题教学中，不断渗透通性通法对学生有着“随风潜入夜，润物细无声”的质的作用.

题目如下：已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna. （1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.

第（2）问是一个恒成立求参数取值范围问题.处理这类问题的基本策略是构造函数，直接研究最值或参变分离，或半分参数形结合. 经过判断后，我们发现本题难以参变分离，则不妨考虑直接研究原函数，求导，利用导函数探求其单调性.基本流程如下所示.

法一：f′（x）=aex-1- （x>0，a>0），令g（x）=aex-1- ，易得g（x）在（0，+∞）上单调递增.

g +1=ae - ，先证A（x）=ex-x>0，而 +1>1，则0< <1，因而g +1>a· -1=0. 又g =ae -（a+1），而- <0，则e <1，所以g =ae -（a+1）0，即f′（x）>0，f（x）单调递增. 要使得f（x）≥1，则f（x）的最小值f（x ）≥1即可. 而导数零点x 虽不可求，但可设而不求，利用ae = 整体代入. 观察原函数f（x），既含有指数式，又含有对数式，指对不分家，不妨化指数式ae = 为对数式为：lna+x -1=-lnx ，则整体代入并降元得f（x ）=ae -lnx +lna= -lnx +1-lnx -x = -2lnx -x +1，构造h（x）= -2lnx-x+1，h′（x）=- - -1<0，则h（x）在（0，+∞）上单调递减，因为h（1）=1，则0

注1：本题最后出现的函数h（x）= -2lnx-x+1，其命题背景其实是对数平均不等式：对任意的正数a，b，有 < < ，若不妨令a>b>0， =t>1，则得 < ？圳lnt< - .再令 =x（x>1），则得lnx< ·x- ;若b>a>0，即0 x- .

注2：本题中导函数g（x）的零……