高中数学函数分类讨论思想的应用分析
2021-05-06顾志坚
顾志坚
【摘要】相较于初中阶段的数学题目，高中阶段的数学题目综合性较大，学生在学习时难免会感觉有一定的困难.对此，教师可以借助分类讨论思想，让学生在烦琐的函数题目中寻找解题规律.本文探讨了高中数学函数分类讨论思想的应用策略，并结合教学实际，从依据函数概念、利用函数图像、让学生找准函数类型等方面讨论如何教学才能提高课堂教学质量.
【关键词】高中数学;函数分类讨论思想;应用探讨
高中阶段的众多数学思想中，学生最容易接受的就是分类讨论思想.学生通过分类讨论能够准确把握命题变化特点，并依据自我学习方案，快速解答问题.充分利用分类讨论思想，不仅能够显著提高学生的解题效率，也可以帮助学生巩固所学知识.教师应借助分类讨论思想为学生的后期学习奠定基础，并结合学生的实际学习情况，进行有针对性的教学，让学生找准函数解题方法，提高学生的解题能力.
一、高中数学分类讨论的基本类型
对函数类型题目的分类讨论是学生解题的关键，教师在教学函数内容时，也应遵循一定的教学原则，要不重不漏、分清主次，还要注意因为参数不同而产生的教学结论差异.现在按照不同的教学内容，将教学方式分为如下几个层面：第一，教师要注意由函数概念引起的一些分类内容.教师要让学生知道对某些含绝对值的式子，必须先去掉绝对值符号，分清正负，再根据斜率变化的不同将函数分为不同类型.在进行分类时，教师要着重引导学生对参数进行讨论.第二，教师要注意由性质公式或者定理性质引起的一些分类内容.教师在教学时要根据应用原则，对其中的某些二次项系数进行分类讨论，判断它们是否需要为0.第三，教师要注意由数学运算引起的分类要求，对某些分母不为0的状况要引导学生对其进行讨论.教师要引导学生利用好导数方法探讨函数的单调性，让学生结合三角函数的定义、正负关系进行分类讨论，并让其根据函数的某些不确定关系了解二次函数最值问题.教师要结合某些对称关系，做好分类讨论教学，上述这几个层面涉及的函数分类讨论题型都是教师在教学时需要关注的重点题型.
二、高中数学函数分类讨论思想的应用分析
（一）依据函数概念，进行分类讨论
每一类函数题目都有其特定的适用范围，不同数学题目的解题过程也是不同的.教师在教学时要帮助学生了解题目的分类过程，让学生通过自我思考找准题目的最优解.在进行函数概念分类讨论的过程中，教师需要求学生找准其中的基本定义，明确解题方法，在不同函数方法的应用过程中找到解题要点，这样才能真正实现分类教学，达到让学生学以致用的目标[1].
例如，教师在教学“指数函数、对数函数”这部分内容时，为了帮助学生理清函数的分类讨论方法提出了如下问题：已知0
（二）利用函数图像，进行分类讨论
加强数形结合思想的应用已成为数学课堂教学的一大重要目标.在一些函数应用题中，一种较为广泛的类型就是要求学生理解函数图像的对称轴，并根据对称关系解决问题.对于该类题型，教师必须要求学生准确把握对称轴的信息，与对称轴有关的题目的解题方法，并对函数图像进行观察.学生通过对图像形状、图像交点等内容的分类讨论最终求解出正确答案，这样才能明确一类题目的解题过程.教师只有教会学生如何解题[2]，才能够真正帮助学生理解题意，达到分类讨论教学的最终目标.
例如，教师在教学过程中就给出了这样一道题目：在坐标平面内有一条曲线，它的表达式为y2=2x.点M（a，0）是一个移动点，可以在空间内随意移动，求曲线上的点到M点的最短距离f（a）.在做这道题时，大多数学生在看完题目后觉得很难求解，不知道题目所描绘的特殊图形.对此，教師要引导学生去做的就是画出函数图像，让学生通过画图逐渐了解M与曲线上点的相互关系.这时大多数学生能够借助函数图像的对称轴去找出最短距离，以此成功解决问题.在寻找最短距离时，学生需要注意的是该函数图像是关于x轴对称的，必须对a是否大于1进行分类讨论，这样才能求解出正确答案.教师在教学时应通过融入数形结合思想，帮助学生理解函数题目的解题步骤，促使教学过程变得形象化，提高数学课堂教学质量.
（三）依据二次函数类型，进行分类讨论
与二次函数有关的应用题大致可分为两类，第一类是定轴动区间，第二类是定轴定区间.对于这两类题目来讲，它们的解题方法是有所不同的.学生只有理解其解题步骤，解题效率才能得到提高.教师在教学时要引导学生对这两种类型做出辨别，让学生在学习过程中了解不同定点的关系.定轴动区间问题往往会产生一个较为完整的函数式，但是由于区间位置的不确定，所以学生在解题时会存在一些错误.对于定轴定区间问题，教师应该引导学生按照确定区间进行系数求解，并分析其主要情况.
例如，教师在教学定轴定区间题型时，给出的题目是：已知一个二次函数的表达式为f（x）=ax2+（2a-1）x-3，它在区间（-3，2）上的最大值是2，请问a的值是多少？对于该题目，教师应该引导学生理解定轴定区间这类题的解题步骤，让学生对a的取值范围进行讨论，通过对称轴的不断变换，了解a位于不同区间时的不同情况.当学生成功解决问题时，教师应要求学生将a的值做出分类讨论，避免出错.而在教学定轴动区间题型时，笔者给出了如下题目：已知函数f（x）=ax2+（2a-1）x-3在区间（a，3a）上的最大值是9，求a的取值范围.这时学生会重新调整思路，应用定轴动区间的解题方案画出一个完整的函数图像，判别图像对称轴的位置，再依照图像对称轴的位置做好类型划分.需要注意的是，在学生解答这两类题目时，教师应该要求其在解题完成之后进行一定的检查.教师通过二次函数类型的划分在课堂中融入分类思想，可以提高数学课堂教学质量.
（四）明确函数类型，进行分类讨论
为了使分类讨论思想真正发挥其实际作用，教师在教学每一道数学问题前都应该对其解题过程进行深层次的剖析，通过解读数学问题引导学生理解实际内容，让学生找到函数的基本类型，在函数类型了解过程中知晓不同函数问题的解决方案.这样可以帮助学生形成正确的学习观念，让学生应用高中阶段学习到的函数分类思想去解决问题.
例如，教师在教学换元问题时，就给出了如下例题：已知2t+4=x，6-t=y，x2+2y2=16（0≤x≤4，0≤y≤22）.将函数化为以u为参数的直线段y=x-u，它与椭圆x2+2y2=16在第一象限内有公共点时，函数y=x-u在y上的截距最大值与最小值为umin=22 ，umax=26.就此题的解答过程来讲，教师应帮助学生分析该题考查的是指数函数的基本性质.学生理解函数类型之后，只要对某些变量做出改变，就可以成功解决问题了.对于等式左边的根号，它同为t的一次式.这时教师可以将其化为直线的截距，利用数形结合法与换元法轻松解决问题.教师要引导学生了解直线与椭圆的交点，让学生在认识过程中再次借助换元法去解决该问题.学生通过明确函数类型，在解题时也有了一个基本的学习方向.这样能够帮助学生弄清应用换元法的要点，提高高中数学课堂教学质量.
（五）优化分类模式，进行分类教学
在课堂教学中融入函數分类思想时，教师必须有针对性地对学生的学习过程做出指导，要选择学生更容易接受的教学方式，使学生能够在学习过程中理清所要学习的内容.教师应尽可能从学生倾向的学习模式开始进行引入，并了解传统函数课程教学存在的一些不足.
例如，教师在教学最值问题时就给出了这样一道例题：求函数y=x2+4+x2-8x+17的最小值.在解决这道问题时，教师可将x2+4看作是A（x，0）与B（0，2）之间的距离，把（x-4）2+1看作是A（x，0）与C（4，1）之间的距离，之后通过图形探知模式，了解到这道题实际上就是求解最短距离BC.如果教师在教学时只是局限于代数教学方法，学生就会很难了解到解决问题的实质.教师这时不妨转换一下教学思路，联想之前学生已了解过的两点间距离公式，通过距离公式的转换，让学生寻找解决该问题的新步骤.学生会在学习过程中理解画图对解决函数问题的重要性，这也能提高高中数学课堂教学质量.
（六）勾勒函数结构，进行分类讨论
为发挥出分类讨论思想在函数解题过程中的实际作用，教师要基于函数设计过程进行分类讨论教学，在高中数学函数分类模型的构建过程中始终结合学生学习数学的基本特点，优化现阶段的数学教学形式，促使学生在数学解题过程中自身能力得到提升.
例如，教师在教学求解函数单调性问题时就给出了这样一道例题：已知x，y为正实数且x+y=4，求解x2+1+y2+4的最小值.就该题的解题过程来讲，教师可以设线段AB=4，AP=x，PB=y，AE=1，BD=2.因为PE=x2+1，PD=y2+4，所以通过连接线段ED和AB交于C点，之后再将该题的算式化为PE+PD与CE+CD，就可以求解出最小值.对于该题的解题过程来讲，教师首先要引导学生观察这两个算式的基本特征.学生通过了解，也知晓了这些算式实际上就是两个直角三角形斜边的和，发现将其转化为直角三角形求解更为方便.在转化过程中，学生的思路一下子就被拓宽了，也会结合后期的数形结合思想进行该道题的分类讨论.教师在教学时应勾勒函数结构，从而提高高中数学课堂教学质量.
教师在高中阶段的数学教学过程中，必须注重分类讨论思想的融入，通过分类讨论突破函数这一难点，让学生在短时间内提高自身解题效率，完成解题正确率的提升.教师可以从依据函数概念、利用函数图像、依据二次函数类型等方面进行分类讨论，对现有的函数课堂教学步骤做出改进，并结合具体的案例，要求学生在学习过程中掌握函数问题的一般解决方法，提高学生的理解能力，让学生的综合素养得以发展，以此提高高中数学课堂教学质量.
【参考文献】
[1]高坚.谈高中数学分类讨论思想的应用[J].数理化学习，2014（08）：59.
[2]朴希兰.分类讨论思想在高中数学教学中的应用[D].延吉：延边大学，2015.
