王梓美

【摘要】数形结合思想是数学中的一种重要思想，运用数形结合思想方法可以解决很多数学难题，能够帮助学生更好地理解与掌握数学知识，提高数学学习的效果，对于初中数学教学具有非常重要的价值。运用数形结合思想能够更好地分析已知条件与求解问题的关系，将数量关系与几何图形融合在一起，构思解题思路，提高解题效率。从小学阶段就有关于数形结合思想的运用，初中数学教学中，教师应该结合实际教学经验，通过文献研究与问卷调查等，探析数形结合思想的重要价值以及具体运用，加强数学概念教学、以数解形展开教学、以形解数进行教学、总结归纳数形结合。落实以上具体的解题策略，可以循序渐进地发展学生的解题能力。

【关键词】初中数学  数形结合思想  以数解形  以形解数  总结归纳

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B/A 【文章编号】2095-3089（2021）10-0121-02

初中数学教学中，主要研究对象是代数与几何，这两大方面既相互独立，又相辅相成、互为联系，表现在具体的数学题目中，主要分为以数解形和以形解数两大方面。应该认识到，数学学科中的“数”与“形”具有独特优势和局限性，仅仅运用代数或者几何知识很难解决综合性较强的数学问题，应该将两者结合起来，互为补充，发挥各自的优势，更好凸显数形结合思想的妙用。数形结合思想在初中数学学科中有很多妙用，但是传统的课堂教学中很少将其作为专题开展教学，初中学生的抽象思维能力与归纳总结能力有限，教师需要加强这方面的教学，帮助学生总结数形结合思想方法，归纳具体的运用，解答更多数学题目。

一、初中数学教学中数形结合思想的重要价值

数学学科中的问题多种多样、内涵丰富，有代数、几何、函数、抛物线、坐标系等问题，解决数量关系问题离不开几何图形，同样结合几何图形问题也离不开数量关系，“数”与“形”是息息相关、密不开分的[1]。

初中数学教学中，教师指导学生数形结合思想具有非常重要的价值，主要体现为三个方面：一是理清相互关系与构建解题思路。运用数形结合思想解答数学问题时，可以帮助学生理清题目中的代数与几何关系，形成初步的解题思路，比如对于二次函数方面的问题，可以结合它的图像与性质探析，明确具有对称性，y=ax2的a>0或a<0，图形开口方向不同，a取值不同其开口大小不同，函数图像会随着函数解析式的变化而变化。二是培养与提升学生解答数学问题的能力。运用数形结合思想，在遇到数量关系或者几何图形方面的问题，可以借助“以形解数”或“以数解形”，解答各类问题，比如证明勾股定理时，可以运用“赵爽弦图”的方法，在全等三角形、统计与概率等问题中同样需要用到数形结合思想。三是培养学生数学学科核心素养。数形结合思想作为数学学科的重要思想方法，学生只有掌握与学会灵活运用，才能更好地解答各类数学问题，发展数学思维与提升解题能力，形成数学核心素养。

二、初中数学教学中数形结合思想的具体运用

（一）运用数形结合思想，加强数学概念教学

数学定义、数学公理、数学定理、数学公式与运算法则等数学概念，是初中数学的基础框架，是学习、理解与掌握数学知识的基础，只有掌握这些数学基础概念才能更好地解答相关数学题目。但是，由于数学概念多是文字描述性质的内容，逻辑性较强，通常较难理解，学生在识记时通常只会记忆文字，无法做到灵活运用。数形结合思想能够帮助学生更好地理解、识记和运用数学概念，让学生对数学概念了熟于心，进而更好地灵活运用不同的数学概念解决多样的数学题目[1]。

例如在七年级数学“有理数”的初步学习中，对于“正数和负数”的概念认识，教师可以先运用温度计实物、电梯楼层图片、吐鲁番海拔高度数据等内容，让学生借助这些具体事物理解负数的概念。接着，教师可以画出数轴图，展示一条向右的线段x，中间是点O，左边是-a，右边是a，通过这个数轴的直观展示，让学生更好地认识-a代表负数，a代表正数。对于“直线、射线、线段”的概念，教师同样可以借助数形结合思想，通过展示空间中无端点的、向两方向无限延伸的图形，帮助学生理解直线的概念;通过展示由一个端点向一个方向无限延伸的图形，帮助学生理解射线的概念;通过展示两个端点与不延伸的图形，帮助学生理解线段的概念。对于后面的“立体图形”的概念，为了让学生理解“不都在同一平面内”的内容，教师可以展示长方体、正方体、圆柱等的模型图与实物图，结合图形讲解这个概念，以此帮助学生更好地掌握立体图形的基本概念。在让学生理解数学基础概念之后，还可以出示一些基础问题要求学生进行分析与解答。

（二）运用数形结合思想，以数解形展开教学

在初中数学教学中运用数形结合思想，教师应该指导学生“以数解形”，就是在解答图形问题时，将“数”与“形”结合起来，运用数量关系解答几何图形问题，需要明确其中的集合点[2]。一般而言，教师可以指导学生从两个结合点进行思考：一是运用数轴与坐标系等工具，将常见的几何问题转为代数问题;二是运用角度、面積、距离等几何量，更好地解决几何问题，比如线段比例证明相似、勾股定理证明直角，运用三角函数研究角的大小等。在具体的课程教学中，教师可以先结合一些例题讲解类似解题方法，帮助学生理解基本的运用方法，然后再出示相关的训练题型，让学生运用数形结合思想中的“以数解形”进行解答。

例如有这样一道题目：三角形ABC的三边是m2-n2，2mn，m2+n2（m，n是正整数，m>n），运用含m，n代数式表示，试求出三角形ABC的面积。对于这道题，教师可以先进行讲解，分析运用勾股定理证明其中的垂直关系，根据题意可得：（m2-n2）2+（2mn）2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=（m2+n2）2，得出△ABC是直角三角形，所以SRt△ABC=1/2（m2-n2）×2mn=mn（m2-n2）=m3n-mn3。在这样的解答之后，教师还可以出示一些关于“以数解形”的题目，让学生根据数形结合思想的基本方法试着求解。比如点P是矩形ABCD内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求出PD的长度;如果要将五个边长是1的正方形组成的十字形图案裁剪与拼接成一个正方形，用虚线表示出裁剪的痕迹，应该怎样做？以此让学生分析与解答。

（三）运用数形结合思想，以形解数进行教学

在数形结合思想中，更加偏重的是运用“以形解数”的方法，主要是因为几何图形具有直观、形象和具体的优势，能够更好地将数量关系展现出来，帮助学生更好地分析、思考与解答问题，求解很多不容易解答的代数问题。关于“以形解数”的简单运用，一是可以运用几何图形实际代数公式，如完全平方与平方差的公式;二是运用数轴、平面直角坐标系等可以几何化代数式，根据代数式的具体内容构造出几何图形，从而简化求解的问题。对于这部分内容的教学，教师同样可以先引入基础的例题进行讲解，在让学生掌握基础的运用之后，再出示相关的练习题，让学生运用数形结合思想中的“以形解数”试着解答[3]。

例如有这样一个题目：tanɑ=1/2，tanβ=1/3，且ɑ、β为锐角，求证ɑ+β=45°。对于这个题目，教师可以先结合图形进行分析：结合正切函数意义构造满足题目条件的∠ɑ与∠β，构造两角和为解题的关键点，可以通过翻转，将下面图形翻转到上面图形的下面，构成第二个图形，所以能够构造出∠ɑ与∠β的和，即ɑ+β，根据图形可以证明△ABD≌△CBE，得出△ABC为等腰直角三角形，所以ɑ+β=45°。在这样讲解与让学生理解之后，教师可以出示相关的题目让学生试着解答，比如：①等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，P为底边上任一点，那么P到两腰距离之和是多少？②关于x的不等式组{x-a>0，2-x>0}整数解有两个，那么a的取值范围是多少？通过出示相关题目，让学生根据例题的解题方法进行解答，最后再根据学生的解答情况进行讲解，以此更好地提升课堂教学实效。

（四）总结归纳数形结合

初中数学学科中，关于数形结合思想中的“数”，一般有实数、代数式、函数与不等式等，“形”一般有角、直线、数轴、三角形、四边形、代表性、相似、勾股定理、全等、抛物线和圆等。对于初中数学教育教学中数形结合思想方法的运用，一般分为两大类：一是运用数量关系研究与解答几何图形的相关问题，需要建立函数关系式或者方程与方程组等，谓之“以数解形”;二是结合图形直观性表示数量关系的问题，常用到数轴、坐标系、函数图形等，谓之“以形解数”。除了这两项基本的运用，数形结合思想方法在初中数学中还有更多形式的妙用，教师应该结合一些典型例题进行总结归纳，帮助学生更好地掌握具体运用[4]。

例如关于数形结合思想更灵活的运用方式，可以分为五类：一是探究数字变化规律，二是解决数与式的问题，三是解决代数式恒等变形问题，四是解决一些極值的问题，五是解决相关函数的问题。在总结之后，教师还可以出示相关的训练题目，让学生灵活运用数形结合思想的各种运用方式试着解答，以此更好地起到巩固训练的效果，并做好检查、点评与讲解工作，从而提升学生的运用能力。

三、结语

综上所述，初中数学教育教学中运用数形结合思想，教师应明确数形结合思想的主要内涵，认识到初中数学教学中数形结合思想的重要价值，明确初中学生的数学基础与学习能力，根据初中数学的相关知识内容，构建运用数形结合思想教学的基本策略。教师可以深入落实加强数学概念教学、以数解形展开教学、以形解数进行教学、总结归纳数形结合等，引导与促进学生积极参与到数形结合思想的学习与运用中，在具体的训练与指导中，帮助学生更好地掌握知识，学会灵活运用。

参考文献：

[1]周芬芬.初中数学教学中数形结合思想的应用探究[J].新课程研究（下旬刊），2017（12）：64-65.

[2]李术辉.刍议在初中数学教学中数形结合思想应用研究[J].中学课程辅导（教学研究），2019，13（2）：216.

[3]腾敏.初中数学教学中数形结合思想的运用研究[J]. 求知导刊，2015，No.40（24）：132-132.

[4]刘玲.浅议数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].东西南北：教育，2020（1）：115-115.