秦健 戴启猛

【摘要】本文以中考备考专题复习课《巧用相似三角形的基本图形之“K型”》课堂教学为例，阐述四度六步教学法在初中数学复习课教学中的应用，用“六步”策略搭建完整教学框架，用“四度”理念提升教学立意，让学生经历“建模→识模→用模→补模”的数学模型学习的过程。

【关键词】四度六步教学法 初中数学教学 相似三角形的基本图形 中考专题复习

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）41-0058-06

复习课是数学教学中一种非常重要的课型，对夯实学生的基础、培养和提高学生运用知识和解决问题的能力具有举足轻重的作用。复习课又是最难上的一种课型，学生没有了学习新知识的新鲜感，学习激情下降。在中考复习时间紧、任务重的情况下，如何在有限的时间内充分调动学生参与课堂学习的积极性，从旧知识中找到新发现，提高综合运用知识解决问题的能力，是毕业班老师们必须深入思考和研究的问题。笔者运用四度六步教学法，以一节《巧用相似三角形的基本图形之“K型”》为例，对中考专题复习课教学进行探讨，以期对教学有所帮助。

一、内容和内容解析

（一）內容

相似三角形基本图形之“K型”图的建模与应用。

（二）内容解析

本节课属于中考专题复习课，是在已经完成全部课程学习，并复习了《图形的认识与三角形》《四边形》的基础上，进一步复习相似三角形的相关知识。

复习相似三角形基本图形之“K型”及变型，建立图感，为在复杂的图形中迅速识别相似三角形，从而准确、快速地解决相关问题做好铺垫，为今后解决综合性问题打下良好的基础。

基于以上分析，本节课的教学重点是：相似三角形的基本图形之“K型”图的结构特征与应用。

二、目标和目标解析

（一）目标

1.观察相似三角形的基本图形之“K型”图的结构特征，建立图感;

2.利用相似三角形的典型模型“K型”，通过变式探究，让学生充分感受模型思想在几何图形中的运用。

（二）目标解析

1.目标1的具体要求：认识相似三角形的基本图形之“K型”图的结构特征及变形，建立图感，能从复杂的图形中提取基本图形，并能找出图形中基本元素之间的关系。

2.目标2的具体要求：以课本为本，夯实基础，在完成课本习题的基础上，通过变式拓展，引导学生在数学解题过程中学会举一反三、触类旁通。在解题过程中渗透分类、方程、转化、数形结合等数学思想，提高学生综合分析问题、解决问题的能力。

三、教学问题和诊断分析

很多学生在学习相似三角形时感到吃力，看着复杂的图形不知道哪对三角形相似，对如何证明两个三角形相似无从下手。本节课设计复习相似三角形的基本图形之“K”型及变形，建立图感，使学生能在复杂的图形中迅速识别相似的三角形，从而准确、快速地解决相关问题。

面对中考，大多数学生都有胆怯心理。本节课从课本的习题出发，拓展到对中考试题的挑战，让学生在挑战的过程中得到新的收获，增强自信心。

基于以上分析，本节课的教学难点：在复杂图形中迅速识别或补全相似三角形的基本图形之“K型”。

四、教学实录与评析

（一）温故——复习提问，温故孕新

师：“得模型者得几何”，这是数学学习的一个通识。几何图形千变万化，但它们都是由数学的基本图形组成。对数学的基本图形，我们怎么进行研究呢？本节课就让我们从课本上的习题开始。

【引例1】（人教版九下课本57页第3题）根据下列图中所给的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值。

师：请问这道题需要我们解决几个问题？

生：需要解决三个问题：①判断是否相似;②求x;③求y。

老师举着大拇指表扬：“同学们审题真仔细！”然后给学生时间思考。

师：哪位同学能解决第一个问题？

生1：因为FG⊥GH，JI⊥HI，所以∠G=∠I=90°;又因为∠1=∠2，根据两角对应相等的两个三角形相似，从而有△FGH ∽△JIH。

师：这位同学不但能条理清晰地证明了两个三角形相似，还能说出了判断相似的依据，掌声鼓励本节课第一位勇敢回答问题的同学。

师：如何求出x和y的值？

生2：根据相似三角形的性质，对应边的比相等，可以求得x=4，y=10。

【实时评析】“数学者说：‘得模型者得几何。’虽然几何图形千变万化，但它们都是由数学的基本图形组成。对数学的基本图形，我们是怎么进行研究呢？本节课就让我们从课本题开始。” 开头语短短几句话，激起学生“我要学”的冲动，理解研究几何基本图形的重要性。引例选自课本练习，注重夯实基础，同时为孕育新知埋下伏笔。

（二）引新——创设情境，引入课题

师：同学们能如此快速解决这道题，可见同学们能结合简单图形比较熟练地运用相似三角形的判定方法和性质。那如果图形变复杂了呢？请看题：

【引例2】（人教版八下课本34页第6题）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=[14]CD。求证：∠AEF=90°。

师：在八年级时，我们曾运用了勾股定理和逆定理进行证明，现在你能利用相似三角形的相关知识来证明吗？

生：由题目条件得到[ABBC]=[BEFC]=[21]，且∠ B=∠C=90°，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，得到△ABE∽△ECF，从而有∠BAE=∠CEF，易证∠AEF=90°。

师：同学们，请大家回过头来看一看刚才的两道引例中，虽然所给的已知条件和求证的问题不同，但两者之间却有本质的相同点，谁发现了？

生：（略）。

师：说明你很善于发现和总结。两道题的相同点就是解决问题的关键都是证明两个三角形相似。如果老师将图形中与相似三角形无关的线隐去，那么又有什么惊人的发现呢？两个图形形似什么？

生：它们“长”得像字母“K”。

师：对。本节课我们将一起来研究相似三角形的基本图形之“K型”。（教师转身板书课题：巧用相似三角形的基本图形之“K型”。）

【实时评析】将课本题目的图形进行“改良”，留下相似的两个三角形，把多余的图形隐去，得到相似的“K型”图，让学生体验一次简单的数学建模过程。相似“K型”图的建模过程浅显易懂，符合学生的认知规律，培养了学生的数学抽象、数学建模素养，教师的巧妙设问和追问，体现了课堂应有的温度和梯度。

（三）探究——合作探究，活动领悟

师： 为了方便叙述，我们把图1（∠1+∠2=90°）称为“直K型”，图2（∠1=∠2）称为“斜K型”。观察图1和图2，请同学们回头再认真观察一下这两个基本图形，它们有什么共同的特征？又能得到哪些共同的结论？两者之间又有什么不同呢？

生1：都有∠A=∠B=90°。

生2：两个三角形都在线段AB的同侧。

生3：∠1+∠2=90°或∠1=∠2。

生4：我能分别证明两个三角形相似。

生5：由两个三角形相似，可以推导出对应边的比相等，对应角相等。

师：同学们观察仔细又全面，所发现的恰好是相似“K型”图的关键特征，太厉害啦。

师：请同学们分别写出两个“K型”图中相似三角形对应边的比和相等的角。（请两位学生板演）

图1中，△APC ∽△BDP，[APBD]=[ACBP]=[CPPD]，∠A=∠B，∠C=∠2，∠1=∠D;

图2中，△APC ∽△BPD，[APBP]=[ACBD]=[CPDP]，∠A=∠B，∠1=∠2，∠C=∠D。

师：两位同学书写正确，最值得肯定的是他们都注意将对应顶点写在对应的位置上。

师（再次强调）：“直K型”与“斜K型”对应边的不同，书写时要注意两者的區别。

【实时评析】数学家华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形离数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”老师通过开放性的问题，引导学生从“数”“形”两方面观察并认识相似“K型”图的形状特征及存在的数量关系，培养学生的数形结合思想。从“形”认识，观察图象发现“K型”图的关键特征，从而可证明两个三角形相似;从“数”认识，明白相似“K型”图的作用，由相似三角形对应边成比例和对应角相等，可求解有关边和角。

（四）变式——师生互动，变式深化

师：在大家的共同努力下，同学们对相似的“K型”图的形状特征和存在的数量关系都有了充分的认识，下面考考大家能不能灵活运用。

【变式一】（2015·永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD。若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与△PCD相似？若存在，求BP的长;若不存在，请说明理由。

生：根据两个“K型”图的结构特征，分类讨论。第一种情况为当∠APB=∠CPD时，第二种情况为当∠APB+∠CPD=90°时。

师：能想到分类讨论，说明你对“K型”图有特别深刻的认识。请同学们动笔计算，求BP的长。

师生互动：学生在本子上书写答题过程，老师投影学生作品，学生相互评析优点与不足。

教师适时小结：角已知，可定图，角未知，思分类。

【实时评析】从引例到变式一，逐步推进学生对基本图形的认识和理解，从熟练到灵活运用，满足了不同层次学生的需求。强调知识的次第重复，螺旋上升，使学生思维能力得以逐步提升。在师生活动中，老师的恰时点拨、恰点归纳、恰当鼓励，使学生思维渐入佳境。

师：把题目的“已知AB⊥BD，CD⊥BD”改为“已知∠B=∠D=∠APC”，还能求出BP的长吗？

【变式二】如图，已知∠B=∠D=∠APC。若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与△PCD相似？若存在，求BP的长;若不存在，请说明理由。

师生活动：老师演示动态图，学生观察发现，随着角度的变化，图形可分为三类，即当∠B分别为直角、锐角、钝角时的三种情况。

生1：我发现，三种情况证明相似的方法是相同的。

生2：我也发现，三种情况下分别计算BP的长，答案是相同的。

师（追问）：这三个图形有什么共性？

生1：有3个角相等。

生2：这3个相等的角顶点都在一条线上。

生3：这3个角都在直线的同侧。

师：越来越佩服同学们，你们不但能想到分类讨论，还能发现变化图形中的共性，这样的发现太有价值了，这三个图形我们称之为相似的“一线三等角型”。你们的发现，恰是相似“一线三等角型”的关键特征，太棒啦。

师适时小结：从直“K型”→“一线三等角型”，角度变了，图形变了，但相似的关系和解题之通法不变。

【实时评析】此环节充分体现了教师的教学智慧，巧用“变”中的“不变”性，拓展学生思维，培养学生归纳概括的能力。数学问题虽然是千变万化的，但数学思想方法是不变的。老师改变题目的已知条件，由直“K型”变成了“一线三等角型”，让学生通过证明和计算发现，角度变了，图形变了，但相似的关系和解题之通法不变。这让学生对“K型”图有了更深刻的认识，体现了数学课堂应有的思维深度。

（五）尝试——尝试练习，巩固提高

请同学们根据自己所在组别对应独立完成下面四道题中的一道题，解完题后便审读并思考其他三道题。（教师巡堂指导，选出有代表性的学生解题过程，待大多数同学都对四道有所思考后再反馈讲评。）

【题1】在一次数学活动课中，数学秦老师带领学生用下面的方法測量学校教学楼AB的高度。在一块平面镜上做一个标记，并将镜子放在距离教学大楼底端A点15米的地面E处，小君同学来回移动，直至看到教学楼顶端B在镜子中的像与镜子上的标记重合。此时测得小君与镜子的距离CE=1.8米，小君的眼睛距地面高度DC=1.6米。请你计算教学楼的高度AB是   米。

分析：由题意得，∠AEB=∠CED，∠ABE=∠CDE=90°

∴△ABE∽△CDE

∴[ABCD]=[AECE]

即[AB1.6]=[151.8]

∴AB=[403]

【题2】如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4）和（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=30°，则顶点B的坐标是     。

分析：仿照相似“K型”图，过点B作BH⊥x轴于点H。

易证：△AOC∽△CHB

∴[AOCH]=[OCBH]=[ACBC]，[4CH]=[3BH]=[13]

又∵∠B=30°

∴[ACBC]=[13]

解得CH=[43]，BH=[33]

【题3】（2019·重庆）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，已知AD=3，BC=[163]，则四边形ABCD的周长为    。

分析：仿照相似“K型”图，

连接CO、DO <P：＼广西教育＼2021-11A＼图片＼a4.tif> ∠5=90° <P：＼广西教育＼2021-11A＼图片＼a4.tif>△AOD ∽△BCO <P：＼广西教育＼2021-11A＼图片＼a4.tif>[ADOB]=[AOBC]

设⊙O半径为r，[3r]=[r163]，解得r=4（r>0）

∴四边形ABCD的周长：3+3+4+4+[163]+[163]=[743]

【题4】（2015·南宁）在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y=ax2（a>0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限。

（1）如图3所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积。

（2）如图4所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A、B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明;如果不是，请说明理由。

师：请同学们思考，观察以上题目中的图形及解法，谈谈运用相似三角形的基本图形“K型”，你有什么解题思路？

生1：对照基本图形，缺什么就补什么。

生2： 我们要善于发现隐含着的“K型”图。

师（适时小结）：遇局部，添辅助，仿模补全。

【实时评析】俗话说：“事非经过不知难。”如果说“温故”“引新”“探究”“变式”等四个环节都有教师“扶”的因素，那么“尝试”环节就是让学生自主学习和尝试学习。主体不参与，学习就不可能发生。初中数学课，强调尝试和巩固，这不仅符合学生的认知规律，而且是提升教学质量的重要方法。当学生遇到图形中没有相似的基本图形，却有基本图形的部分特征时，能悟出需要添加辅助线，构造相似三角形，这便是学生思维能力“质”的飞跃，培养学生建立数学模型意识就落到了实处。教师讲评时，引导学生归纳此类问题添加辅助线的基本思想就是缺什么补什么，把未知转化为已知，强化转化思想。学生通过独立思考和自主尝试，在融合了平面直角坐标系、四边形、圆、函数等复杂几何图形中，探索发现“隐藏”着的基本图形，并能仿照基本图形“补全”，适时归纳解决问题的基本方法及思维模式，使得课堂不仅有深度，而且有宽度。

（六）提升——适时小结，兴趣延伸

师：本节课我们一起探究学习了相似的基本图形之“K型”，请谈谈我们经历了一个怎样的学习过程？

生1：从课本题到中考题。

生2：从“K型”到“一线三等角型”。

生3：从简单图形到复杂图形。

生4：从完整的“K型”到残缺的“K型”。

师：同学们能从不同方向去思考，总结很精彩。我们还经历了一次数学几何模型的学习过程，即“建模→识模→用模→补模”的过程，如表1所示（见下页），今后我们学习数学几何模型常常会经历这样的过程。

师：相似三角形的基本图形，除了“K型”，还有“A型”“X型”“手拉手”型等（见下页），同学们可以采用类似本节课的学习方法来研究其他的基本图形。

【实时评析】小结归纳分为两个部分，一是贯穿整个学习过程的知识内容和图像模型，帮助学生把握本课知识，培养自我归纳概括能力，形成知识系统;二是总结数学模型的基本研究方法和数学思维模式，为后续类似内容的学习搭建桥梁。

【作业】

（一）必做题

1.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB=    。

2.一天，小林蹲在地上，通过地面上的一块平面镜（即点C），恰好能看到前方小树（即DE）的树梢（即点E），此时他测得镜子（点C）的俯角为45°，然后她直接抬头观察树梢，测得树梢（点E）的仰角为30°，如图中所示，假设AB⊥BD、ED⊥BD，小林蹲在地上时眼部到地面的距离（即AB）为0.7米，回答下列问题：

（1）填空：∠BAC= 度，∠BCA= 度，BC= 米，∠DCE= 度;

（2）在（1）的基础上求树高DE。

（结果保留0.1米，[2]≈1.4，[3]≈1.7）

（二）选做题

3.如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°，AO=[2]BO，当A点在反比例函数[y]=[1x]（x>0）的图象上移动时，B点坐标满足的反比例函数解析式为       。

4.如图，抛物线y=-[14]x2+x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，0）。

（1）求此抛物线的解析式;

（2）若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，试求当CD与⊙M相切时D点的坐标。

【板书设计】

五、课后总评

这是一节初中数学专题复习课，老师灵活运用四度六步教学法，教学设计精心独特，教学过程自然流畅，课内师生、生生有序互动，学生学得意犹未尽，真正实现了由“学会”到“会学”的转变。

一是“六步”教学框架巧妙设计。在“六步”教学策略的引导下，老师搭建了一个完整的教学框架，让学生经历“建模→识模→用模→补模”数学模型的学习过程。

“温故”：复习相似三角形的基本图形，利用学生熟悉的课本练习题，“预热”情绪，引发思考，孕育新知。

“引新”：增加图形复杂性，再将图形“改良”，得到相似的“K型”图，让学生体验一次简单的数学建模过程。这符合学生的认知规律，培养了学生的数学抽象、数学建模素养。

“探究”：老师通过开放性的问题，引导学生从“数”“形”两方面观察并认识相似“K型”图的形状特征及存在的数量关系，培养学生的数形结合思想。

“变式”：“变式一”让学生学会分类讨论，“变式二”从直角三角形变为普通三角形，在具有共同结构特征的情况下，使学生归纳、总结得到共同结论。两个变式让学生对基本图形有了更深刻的认识。

“尝试”：进一步培养学生用模意识，在复杂图形中发现“隐藏”着的基本图形，对学生在熟练、灵活运用基本圖形解决问题的能力提出更高要求。

“提升”：以小见大，本节课所运用的探究相似“K型”图的方法和思维方式，还适用于相似的“A型”“X型”“手拉手型”等其他图型。

二是“四度”教学理念融合其中。这是一节有温度的课。在教学中，老师亲切的态度，有效的提问，适当的激励评价，都充分体现了课堂应有的温度。

这是一节有梯度的课。本节课从课本题到中考题，从“K型”到“一线三等角型”，从简单图形到复杂图形，从完整的“K型”到残缺的“K型”，从只需做一条辅助线到需要作两条辅助线，教学各环节都充分体现了有“梯度”的教学，实践“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的开展”的教育理念。

这是一节有深度的课。在一节数学课中，尤其是在复习课中数学思想方法的渗透是十分必要的，否则就成了习题课，就题解题，只能收获解题技巧，但这样的课是没有深度的。秦老师在本节课中融合了类比、分类、方程、数形结合等数学思想，引导学生去运用模型，深化模型，把模型用熟用透，抓住其中不变的本质解决变化的问题。这些数学思想方法不是表面化的记忆方式提出，而是在学生练习变式、类比归纳、思考整合的过程中可以体验到，真正体现数学思想方法的感悟和渗透。

这还是一节有宽度的课。本节课尤其注重联系、知识融合和能力迁移。在“变式”环节，老师引导学生探究“变”与“不变”之间的关系，共同归纳出“不变”的本质;在“提升”环节里，引导学生发现无论“K型”“A型”或“X型”，都是相似三角形，利用相似三角形的性质解决实际问题。这样的复习课设计，把课本知识教“活”，把解题方法教“活”，让学生能举一反三、触类旁通。

【参考文献】

[1]戴启猛.基于初中数学“四度六步”教学法的理论基础与实践架构[J].中小学课堂教学研究，2020（3）.

[2]戴启猛.追求有宽度的课堂[J].中小学课堂教学研究，2021（2）.

[3]戴启猛.追求有深度的课堂[J].中小学课堂教学研究，2020（11）.

【作者简介】秦 健，南宁市天桃实验学校高级教师，广西教研院兼职教研员，广西“园丁工程”、广西“名师深蓝工程”培养对象，南宁市学科带头人，广西特级教师;戴启猛，南宁市教育科学研究所所长，中小学正高级教师，广西特级教师，广西师范大学教育学部特聘研究员，广西“八桂教育家摇篮工程”培养对象，广西基础教育数学教学指导专业委员会主任委员，教育部基础教育数学教学指导专业委员会委员，初中数学“四度六步”教学法创始人。

（责编 李 唐）