丁素琴

[摘  要] 解题能力的培养离不开科学有序的引导与拓展，这就要求教师在课堂教学过程中深挖教材所呈现的例题，通过思考、探究、拓展与创新等方式延伸知识点，训练学生的思维能力与解题能力.

[关键词] 解题能力;拓展;延伸

伽利略曾经说过：“科学是在思维角度的不断变化中探索前进的. ”对数学教材中一些经典例题从多个角度进行革新与拓展，对学生的数学思维发展与解题能力的培养具有意想不到的效果. 正如宋代朱熹所言：“问渠那得清如许，为有源头活水来. ”初中数学教学的源头就是教材，通过对教材例题的探索与研究，将例题进行拓展与创新，可活化学生的思维，促进学生解题能力与综合素养的提升.

读题审题，弄清题意

审题是解题的根本，只有审清题意才能清楚题中所包含的条件，根据题目所呈现的内容分析与本题相关的公式、概念、法则、定理等，尤其是一些隐蔽的隐含条件，是审题的重点，这些隐含条件往往决定了解题的方向，因此决不能遗漏或自行添加任何条件，而应客观地读题、审题并加以分析，这是提高解题能力最基本的措施.

我们在读题、审题时应做到“一看二读三画四思”，只有完整地遵循这四个步骤，才能彻底审清题意，避免各种奇葩错误的发生. “一看二读三画四思”主要是指：（1）看. 这是审题最简单直接的方法，对于题中一些关键性的字、词、句等可标上着重号，找出题中的显性条件与隐含条件，坚决做到不漏看、不错看任何条件，保证看清、看准题目. （2）读. 只有逐字逐句地认真读过去，才能保证不多出或漏掉任何有价值的信息，读的过程具有补救看错、看漏的重要作用. （3）画. 数学文字一般偏抽象，光凭看和读还不能完全理解一些关系，画却能将一些数据转化成直观的图像符号，这也是突破解题思路的最佳方式，尤其是一些行程问题、几何证明题等，画能让解题思路变得更加清晰. （4）思. 在完成以上三步之后，就需要快速、准确地挖掘大脑所储存的信息，分析问题的本质和解决办法.

不少学生在考试时失分在一些不可思议的地方，例如，题目要求选择错误选项，他偏偏选择正确选项;要求写系数，他偏偏写的是次数，等等. 究其主要原因就在于读题、审题粗枝大叶，答非所问而导致漏洞百出，这也是学生之间拉开差距的主要原因之一. 因此，提高解题能力的首要因素是读题、审题能力的培养.

以教材为本，拓展原题，开拓解题思维

加里宁认为：“数学是锻炼思维的体操. ”解题能力主要体现在解题思维的灵活性与创造性，富有创造性的思维能激发学生的解题思路，促进学生解题能力的发展. 鉴于此，教师可在原题的基础上进行拓展、延伸，以活跃学生的数学思维，拓展学生的解题思路. 笔者以执教过程中教材的一道题目为例，谈谈如何拓展原题，开阔学生的解题思路，提升解题能力的具体办法.

1. 原题呈现

若一圆柱体底面的周长是20 cm，AB是该圆柱的高为4 cm，上底面的直径为BC，若一只蜗牛以A点为起点沿着圆柱体侧面进行爬行，一直爬到点C（见图1），请问这只蜗牛所爬的最短路程是多少？

分析：蜗牛在圆柱体的半个侧面爬行，若展开这半个侧面（见图2），可得矩形ABCD，依照两点之间，线段最短的原理，最短路程应该是图2中矩形对角线AC的距离.

？摇？摇解：如图2所示，在Rt△ABC中，BC的长度是圆柱体底面周长的一半，即10  cm，根据勾股定理可得AC===≈10.77（cm）. 答：蜗牛所爬行的最短路程约为10.77 cm.

学生解决这个问题的难度系数并不大，只要审清题意，解题基本没有问题. 教师为了拓展学生的解题思维，可在原题的基础上进行拓展与延伸，深化学生对勾股定理的掌握与运用程度，提升学生对此类问题的解题能力.

2. 原题拓展

拓展1：原题条件不发生变化，把蜗牛爬行的路线从侧面爬行到C点改为从表面爬行到C点，请问它所爬行的最短路程依然是矩形ABCD的对角线AC的长度吗？

分析：蜗牛先是沿着母线AB爬行由点A爬到点B，而后沿着上底面的直径由点B爬到点C，路程是4+≈10.37<10.77. 因此，最短距离不是AC的长度.

拓展2：把原题中的圆柱底面周长这个条件由20 cm改成16 cm，若蜗牛依然是沿着表面进行爬行，那么它所爬行的最短距离还是A→B→C这条路线吗？

分析：根据题意得AC===≈8.94（cm）. 由点A到点B再到点C的长度为4+≈9.09（cm），此时AC的长度又明显比A→B→C这条路线短.

不少学生在遇到拓展2的问题时，受拓展1的影响，省略掉了计算与分析环节，直接给出答案而出現了解题错误. 因此，教师应引导学生在解题时不能受思维定式的影响武断地给出结论，而应经过分析、计算、对比等环节，让客观数据来判断其距离的长短.

3. 探索研究

以上两种爬行方法，哪种方法的爬行路程更短？（说明：以下探究比较的都是两种爬行方法的最短路程）

假设h为圆柱体的高，r为圆柱体的底面半径，蜗牛沿着侧面爬行的路线AC的长度为l=;沿着表面爬行的路线A→B→C的长度l=h+2r，因此，l=h2+π2r2，l=h2+4hr+4r2，假设Δd=l-l.

探究1：如果高h是一个常数，那么Δd=（π2-4）r2-4hr. 此时，关于r的二次函数图像与横轴有两个交点，分别为（0，0）和，0. 因为r>0，其函数图像如图3所示.

根据这个图像可获得以下结论：

①在r>时，Δd>0，l>l，即l>l，蜗牛沿着圆柱体表面爬行的路程比沿着侧面爬行的路程短;

②在r=时，Δd=0，l=l，即l=l，蜗牛的两种爬行路线的路程是一样的;

③在0<r<时，Δd<0，l<l，即l<l，蜗牛沿着圆柱体侧面爬行的路程比沿着表面爬行的路程短.

探究2：如果r是常数，Δd=-4rh+（π2r2-4r2），关于h的一次函数图像与横轴交于点，0，因为h>0，其函数图像如图4所示.

①在0<h<时，Δd>0，l>l，即l>l，蜗牛沿着圆柱体表面爬行的路程比沿着侧面爬行的路程短;

②在h=时，Δd=0，l=l，即l=l，蜗牛沿着圆柱体表面和侧面爬行的路程一样;

③在h>时，Δd<0，l<l，即l<l，蜗牛沿着圆柱体侧面爬行的路程较比沿着表面爬行的路程短.

此探究主要是实现数学的建模过程，通过对圆柱体表面展开所得的图形，一次函数、二次函数的图像与性质，以及勾股定理等知识点的探索，渗透了方程、函数、数形结合、分类讨论等各种数学思想，经过对比分析，由浅入深地发展了学生的数学思维，帮助学生提高解题的灵活性，形成良好的探究力.

4. 延伸创新

延伸1：如图5，正方体ABCD-EFGH的棱长是3 m，蜗牛从A点出发，若沿正方體的外表面爬行到G点的最短距离是多少米？

正方体ABCD-EFGH的表面展开图如图6所示：

从“两点之间，线段最短”的规律出发，想求的最短路程就是正方体ABCD-EFGH表面展开后AG的长度. 其实，不论是路径①的AG，或是路径②的AG，或是路径③的AG，以勾股定理为据，均等于==3（m）. 因此，蜗牛从正方体的A点出发，从外表面爬行到G点的最近路程为3m.

延伸2：如图7所示，长方体ABCD-EFGH中AB的长度为3 m，高BF是2 m，宽BC是1 m. 蜗牛从长方体的顶点A点开始沿长方体的外表面向顶点G爬行，试求最短路程的距离.

如图8所示，展开长方体ABCD-EFGH的表面后，根据“两点之间，线段最短”的规律可知距离最短的路程就是矩形对角线AG的长度.

由勾股定理可得：①AG==（m）;②AG===3（m）;③AG===2（m）. 因为3<2<，所以蜗牛从A点爬到G点的最短路程是3m.

此延伸过程将圆柱体换成正方体与长方体，既直接运用了教材中所呈现的知识，又提升了学生的思维能力. 学生在一步步寻找最短路程的过程中，激发了求知的内驱力，有效地拓宽了学生解题的思路.？摇？摇

总之，解题能力的培养需要一个漫长的过程，任何能力的提升都非一朝一夕就能完成的. 教师只有静下心来认真钻研教材，挖掘例题的内涵，通过对例题的探究与延伸，让学生从根本上理解问题的本质，达到做一题、通一类题的良好效果.