叶少梅

【摘要】在数学教育活动中，大部分数学概念与教学知识之间存在着极为密切的联系，为优化教学活动，加深学生对于数学概念的理解，教师应努力尝试利用已经掌握的数学知识解决后续的数学问题，依靠既得的数学经验帮助学生解答数学学习问题。本文针对初中数学教学活动展开论述，思考方程在几何题教学活动中的应用。

【关键词】方程   几何题   应用

方程是基于西方數学理论发展而来的学习模块，通过对方程的计算、对未知数的选择，学生能够在较短的时间内明确掌握解题方向，并剔除其他信息对于教学活动的干扰，依靠方程，对客观学习问题做出回应。但在以往的教学活动中，方程多应用于抽象数字的计算当中，帮助学生利用方程解决几何问题，这是一次极具代表性的数学尝试。

一、推理证明，解决面积问题

方程从数学问题的数量关系入手，通过方程，教师能够帮助学生在所掌握的数学材料中提取新的可用知识，并根据数学问题的相关表述构建全新的数学模型，促使问题中已知的、未知的题干信息构成新的数量关系。在当前的初中数学教育活动中，方程的应用极为广泛，但大多以抽象数据的计算、数量关系的计算为核心任务，对于空间几何问题的影响并不明显，要将方程融合到几何问题当中，教师应明确把握方程问题与几何问题的相同点、共同点，依靠两种不同解题方式的相互辐射，重新定义数学解题活动。

方程思想从问题的数量关系入手，几何问题则强调图形的位置关系、大小关系，其差别较为明显，利用方程解决几何问题，其教学实质等同于“数形转化”，基于这一观点，教师可将涉及到数字换算的数学问题提取出来，依靠方程建立新的数字关系，从而帮助学生解决几何问题。以初中数学教材《平行线及其判定》的相关学习为例，在这一板块的教学活动中，学生可能会接触到图形的折叠、变形，求面积问题，如图所示：

在这一几何结构中，图形的形状、边长、角度等性质在不断改变，直接求解的难度较大，教师可利用方程发起推理证明活动，帮助学生梳理图形之间的数量关系。在这一过程中，教师可帮助学生利用方程确定相关问题的数量关系，已知AD=8，AB=4，根据所给图形得出BE=x，则AE=8-x，BE=ED，进而列出解题方程式。在求解环节，学生能够利用等腰三角形的基本性质、平行线的基本概念等数学知识确定相应的数量关系，进而对方程进行求解，得出正确答案。与传统的解题方法相比，其所应用到的数学材料并不复杂，仅要求学生利用方程知识与已掌握的知识发起互动，对于学生来说，解题的开放性更强。

二、主观推测，解决思考问题

在初中阶段的几何教学活动中，部分教学问题在提问时并没有给出一个明确的思考目标，其要求学生计算最终的长度、面积，或对图形是否全等等内容进行判定，针对这类问题，其解题活动很容易受到学生主观意识的干扰，如果学生能够以积极的态度回应相关问题，向着“猜测”的方向不断靠拢，其所提出的答案的合理性也能够在一定程度上被保障。

以初中数学教材《三角形全等的判定》的相关教学为例，针对该类问题，经常会出现以下类型的推导题：两个三角形放置在同一平面内，每个三角形上都有一个点，当两个点开始运动时，问何时两个三角形能够形成全等三角形？如下图所示：

这类问题中虽然给出了明确的数量关系，但如果只依靠学生的主观推导，计算的压力较大，且容易出现判断错误，教师可利用方程对该类开放性较强的问题做出回应，帮助学生更为积极的掌握解题方式。在解题活动中，教师可帮助学生确定两个三角形形成全等三角形的数量关系：（1）AC=BQ，AP=BP;（2）AC=PB，AP=BQ，在不同的全等关系下罗列对应的方程组，依靠数量关系得出最终答案。传统的教学方法要求学生独立对CP、QB、PB等边的长度进行计算，学生的运算压力较大，很容易出现计算错误，而在方程组的协助下，其能够直接摆脱无关变量对于问题的干扰，围绕问题的着力点建立方程式，进而对方程问题做出回应。

三、数形结合，确定数学关系

数形结合已经成为初中数学教学活动中的理想化方法，通过对数字材料的定向加工，教师能够依靠直观几何图形为学生创造观察与思考的对象，从而实现抽象问题的具体化处理，将复杂的数学问题转化为简单的数学结构。但对于初中数学教学活动来说，教学活动中所涉及到的相关知识以未知数的求值、位置关系的判定为主，在建立空间关系之后，几何图形可能会对原本的数量关系产生干扰，基于这一特点，教师可利用方程转化教学思路，帮助学生解决数学思考问题。

以初中数学教材《全等三角形》的相关学习为例，在这一板块的教学活动中，可能会涉及到位置关系推导问题、相似三角形推导问题，在这一板块，学生需要对角、边的数量关系进行整理，从而根据所得的大量数据进行运算，然后才能得出正确答案，如下图所示：

在问题中，Q是AB上不断运动的点，P是OA上运动的点，二者的运动速度不同，问到运动多长时间后，两个三角形成为相似三角形？在对这一问题进行解答时，教师可帮助学生围绕P的运动时间、Q的运动时间分别建立方程组，将对运动时间的求解转化为对未知数的求解，缩小学生的解题范围。通过导入时间t，利用二者的速度之差建立方程式，提高运算效率。在这一过程中，学生无需对客观图形进行推导，图形作为载体给出数据，在利用方程解题的过程中，解题速度大幅提升。

结语

方程在几何题中的应用越来越常见，在利用方程帮助学生解决几何问题时，教师应将几何概念与数字从问题中提取出来，依靠所给出的数学材料，重新确定数学关系，利用方程优化解题方法。

【参考文献】

[1]李国峰. 利用方程求解几何问题[J]. 数理天地：初中版， 2016， 000（004）：P.31-32.

[2]海楠. 列方程解初中几何题举例[J]. 中学生数学：初中版， 2010， 000（012）：P.17-18.

[3]杨燕. 中考中的几何、方程综合题[J]. 中学生数理化：初中版， 2003， 000（007）：4-6.