高原

[摘  要] 数学理解是一种理解的深度，是一种体验的高度，是一种创新的广度.有深度的数学理解，从揭示知识的来龙去脉开始，从呈现教师的思维过程出发，从暴露学生的思维过程展开，并在自编题中实现从理解知识到数学应用的升华.

[关键词] 高中数学;数学理解;暴露思维;自编题

目前，高中生在数学学习中普遍存在着以下困惑：数学概念、定理、性质以及例题等的讲解一听就懂了，而在习题训练或考试中却无从下手，这是当下严重影响学生数学成绩提升的一大“瓶颈”. 目前，狂刷习题是大部分学生学习数学的常态，尤其是高三学生，刷题的时间和数量是无以计数的，而效果却又是极小的. 这与师生中普遍存在的认识“数学学习就是做题和计算”有着相当大的关联，久而久之，就会出现学生缺乏对所学数学知识必要而深刻的理解，自认为知识的掌握已经成型，而事实上却是浅显的、模仿性的.

章建跃先生提出需“理解数学”，所谓的“数学理解”，就是学生的头脑中形成一个强大的知识网络，吸收该数学知识的同时，使之快速与已有数学认知结构建立联系，从而内化为一个完整的数学知识结构网络，在不断建构和修正数学知识结构网络中可以促进数学理解的形成. 一般來说，让学生理解数学是提高教学质量的前提条件. 不少一线教师对数学教育的本质理解不够透彻，在把握教学本质上有所偏差，仅仅追求表面上的知识输送，从而抑制学生思维的发展. 因此，在教学中如何促使学生深刻理解所学数学知识是值得广大数学教师研究的问题. 下面笔者就围绕“促进学生理解数学知识”这一主题，谈谈自身的一点思考，与同行交流.

数学理解，从揭示知识的来龙去脉开始

高中数学课程内容所包含的不仅仅是数学的结论，还需囊括数学结论的形成过程以及其中蕴含的数学思想方法. 这样一来，教师就不可以机械地将数学结论抛给学生，而需注重学生亲身经历数学知识，尤其是数学概念、定理、公式、发展等的学习过程，从而真正理解其中蕴含的数学思想方法，以促进学生对数学知识的真正理解[1].

例如，在教学“等差数列的通项公式”时，笔者为了让学生真正理解定义的来龙去脉，让学生亲身经历等差数列定义an-an-1=d（n≥2）向通项公式an=a1+（n-1）d的推导过程，使学生对公式中每一个字母的含义有深层次的认识，并实现渗透“消项累加”的数学思想的目的.

案例1：在“球体的体积”的教学过程中，笔者没有直接呈现球体的体积公式V=πR3，而是引导学生逐步探究和推导此公式，让学生对探求方法有一定的认识，对体积公式有深刻的理解. 具体探究过程如下：

首先，研究如何计算半径为R的半球体积，借助一个几何体，该几何体与半球相同高度，且在用任何水平面截取时，所得截面面积均相等. 接着，设与大圆平行且与球心距离是l的平面截半球所得圆面半径是r=，可得截面面积S1=πr2=π（R2-l2）=πR2-πl2. 此处的S1可视为在半径是R的圆面被挖掉一个半径是l的同心圆而得出的圆环面积. 然后，取一个底面半径与高都为R的圆柱，并去掉一个以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点的圆锥，将得到的几何体和半径为R的半球置于同一水平面.最后，任意水平面截取这两个几何体，得到的截面分别为圆面与圆环面. 由此可得：圆环大圆半径是R，小圆半径是l，面积是S2=πR2-πl2，可得S1=S2，据祖暅原理，以上两个几何体的体积相等，则有V=πR2R-πR2R=πR3. 因此球的体积V=πR3.

数学作为一门理性学科，理解和思维是数学学习的关键词. 在课堂教学中，只有充分暴露知识的形成过程，才能让学生生成最真实的体验，才能真正地理解数学知识，获取数学知识. 这样的经历过程，是一种有效的、必要的体验，只有当学生获得了对数学知识的本质理解，学生在应用时才能做到游刃有余[2].

数学理解，从呈现教师的思维过程出发

在课堂教学中，教师不仅需将教材中的思维结果传授给学生，更需要向学生呈现自身的思维过程，使学生得到启迪. 教师将自身的思路或是从学生的角度进行思考的过程分析给学生，将自己解决问题时遇到的一系列困惑、难题甚至于失败暴露给学生，将自身的调整、修正以及一步步走向成功解题的过程演示给学生. 这样一来，在教师与学生的同步思维中，可以帮助学生正面解决困难，促进对数学问题的本质认识.

案例2：以一道抛物线习题的探究过程为例

问题呈现：一直线过抛物线y2=2px（p>0）的焦点，并与该抛物线相交，两个交点纵坐标y1，y2，证明：y1y2=-p2.

生（证明过程略）

师：现将条件“过焦点”向“过定点（a，0）”推广，可得到什么结论？

探究1：一直线过定点（a，0）并与抛物线y2=2px（p>0）相交于纵坐标为y1，y2的两点，那么y1y2为常数.

因为直线过定点（a，0），设直线方程y=k（x-a），联立抛物线方程y2=2px（p>0），消掉x后，可得y2-y-2pa=0，所以y1y2=-2pa，即为常数.

探究2：已知抛物线y2=2px（p>0）上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且有y1y2=k（k为常数），那么直线恒过定点.

设直线AB方程是x=my+a，代入抛物线方程y2=2px，可得y2-2pmy-2pa=0，有y1y2=-2pa. 又y1y2=k，则有k=-2pa，a= -，所以直线恒过定点

教师以教材中的一道习题为载体，有目的地向学生重点暴露变式探究的思维过程，让学生看到例题、习题的多种变化，让学生体验到数学学习的趣味性，让学生真正参与到知识的生产和发展中来，让学生牢牢把握思维问题的本质，对知识体系有一个全面认识，让学生从教师的探索过程中，汲取营养、受到启示，让学生真正理解数学、理解知识.

数学理解，从暴露学生的思维过程展开

当然，作为教师，不仅仅需向学生展示自己的思维过程，让学生获得深层次的理解，取得思维方法的借鉴，还需善于引导学生暴露自身的思维过程，展示学生问题解决的思维过程，暴露学生解决问题过程中的错误. 教师再以“错”来做文章，让学生既能找到自身错误的根源并纠正，又能在展示中逐步学会探究性学习，并实现再创造等高阶思维的培养[3].

很显然，以上的错误源于求解过程中学生忽略了x，y之间的相互制约关系. 教师点拨和诱导学生发现错误根源，并与学生一同探究得出正确的解题思路，从而深化了学生的认识.由此得出以下正确解题思路：

让学生在自编题中实现从理解知识到数学应用的升华

作为一名数学教师，要清楚地指引学生深层次理解数学知识的关键步子在哪里. 鼓励学生多做自编题这种新的探究活动，高起点地吸引学生的注意力，迫使学生转变被动接受知识的现状，充分调动学生的学习积极性，激发他们的挑战和智慧，促发学生更高的求知欲.

例如，在学完“几何体积公式”这一内容后，笔者会引导学生自编与体积相关的数学问题. 学生们跃跃欲试，形成了多种创编思路，尽管所编题目较为浅显，有些还略显“低级”，不过很显然他们都参与到了积极思考的氛围中去，有效迫使学生自主回归知识基础并完善自身的知识体系，做到了用“自编题”进入数学思维火热碰撞的殿堂.

总之，数学教学的落脚点是提升学生的数学素养，发展学生的终身学习能力. 因此，教师需转变传统教学的思想，真正从学生出发，基于学生视角去演绎教学. 只有这样，数学教学才能事半功倍，学生火热的思维才能得到提炼，得以深化，从而不断提高他们的思维水平.

参考文献：

[1]  余业兵，李蓉. 揭示数学概念产生过程，促进数学知识的有序建构——例谈高中数学概念教学过程建构[J]. 中小学数学（高中版），2014（06）.

[2]  袁永春. 注重知识形成过程的初中数学教学案例研究[J]. 中学数学，2019（02）.

[3]  张昆，张乃达. 暴露数学思维过程的课堂教学研究——透过培养学生数学核心素养的视点[J]. 中学数学，2018（04）.