李福利

[摘           要]  在哈尔滨工业大学工科研究生小波理论与应用的教学过程中，加入上机实践教学内容后，学生的反响比较强烈，普遍反映以往抽象的概念和理论更加易于接受，而且提高了动手实践能力。

[关    键   词]  小波;滤波器;Mallat分解与重构算法;实践教学

[中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A              [文章编号]  2096-0602（2020）40-0202-02

近几年来，哈尔滨工业大学工科研究生学位课中，小波理论与应用的选修人数稳定在300人左右。这是一门理论性和应用性都比较强的交叉学科。在以往的研究生小波理论的教学过程中，教师往往偏重于理论教学，忽视了实践教学，导致学生学过小波理论后，不知道如何用小波解决具体的实际问题。学生课堂上似乎听懂了，实际动手操作起来，就很茫然，不知所以然了。为此，我们在教学过程中，向哈尔滨工业大学研究生院主管研究生教学培养和哈尔滨工业大学数学学院主抓研究生公共教学的领导申请了12学时的上机实践，申明了实践教学的迫切性和重要性，得到了有关部门领导和研究生院的大力支持。

由于课时限制，经过5年多的教学实践摸索，我们把上机实践内容分成两大块，一块是基础篇内容上机实践部分，另一块是提高篇内容上机实践部分。

我们在基础篇内容实践部分，为了使实践教学不流于形式，特别加强设计了八个实践教学任务，使学生上机实践的时候感觉到任务充实。基础部分要求学生完成实验报告，报告内容包括实验目的、实验原理、实验结论、实验结果分析、MATLAB源程序、上机收获体会等内容。从而加深了学生对基本概念、基本理论的理解，提高了学生的动手能力、实践能力，并有效防止了高分低能现象的产生。具体的八个实践任务如下。

一、Butterworth滤波器的原理与实践

设计这一实践任务的目的是为了加深学生对滤波器概念的理解，体会到滤波器对信号的滤波作用，和不同参数的Butterworth滤波器对信号的滤波效果的影响是不同的。学生通过这一实验，体会到了MATLAB强大的编程能力，加深了对有关数学公式的理解。

二、小波滤波器的原理与实践

设计这一实践任务的目的是为了让学生加深理解連续小波变换作为一种滤波器，对信号是有滤波作用的。不同的连续小波变换对信号的滤波作用是不同的，有的起到带通滤波的作用，有的起到高通滤波的作用。不同的典型信号的连续小波变换的表现形式是不同的，诸如脉冲信号、白噪声信号、椒盐噪声的信号、正弦波的信号的连续小波变换各有其特征。学生做过这一实践任务后，普遍反映加深了对连续小波变换滤波作用和特征提取作用的理解。

三、基于Haar小波滤波器的信号去燥原理与实践

噪声在时间域的表现形式是高频，而Haar小波是最简单的正交小波，通过伸缩平移变换，与信号做离散小波变换后，可以提取不同位置的高频信息，从而达到去除噪声的目的。这是最简单的去燥原理。学生做过这一实践任务后，加深了小波去燥原理的理解，为进一步构造复杂去燥的方法打下了坚实的基础。

四、基于Haar小波滤波器的信号压缩原理与实践

小波函数至少具有一阶消失矩，信号在小波基下的稀疏表示问题，即压缩问题，是小波应用领域的一个重要课题。通常小波函数消失矩越高，压缩效果越好。由于Haar小波具有一阶消失矩，因此采用它作为一种压缩工具是有一定效果的，虽然与具有高阶消失矩的小波的压缩效果相比，它不是最理想的小波。学生做过这一实践任务后，能够深刻理解信号在小波基下的稀疏表示原理。

五、用MATLAB语言实现db2小波画图

Daubechies小波函数系没有显示表达式，它的构造过程非常巧妙，体现了数学在解决具体问题时的强大。它的构造过程应用到了三角多项式分解的Riesz引理，高等代数中代数多项式的Bezout定理，组合数学的有关公式，函数多项式展开的Taylor定理，数值分析的迭代原理等一些深刻的数学工具。构造Daubechies小波的原始论文长达88页，美籍比利时裔女数学家Daubechies在构造这一类紧支撑正交小波时，体现了她数学功底的深厚和构思的巧妙。一般在短期内很难深刻理解其原理，但通过上机实践，可以认识到它可以通过迭代产生，并深刻理解“支集”以及“消失矩”这两个在小波理论中非常重要的概念。

六、一维Mallat分解与重构算法实现

一维Mallat分解与重构算法是小波理论与应用这门课程的重要内容之一。以往的一些老师讲解只注重公式的推导，忽视了上机实践。其实一维Mallat分解与重构真正上机实践还会面临很多具体的问题，比如，初值的选取个数，怎样应用采样定理选取初值，如何应用小波尺度函数计算初值，边界怎样延拓，最后算出的数据如何进行选择截断等，这些只有通过上机实践，学生才能体会到其中的奥妙，才能够更加深刻理解Mallat算法。在这一课时安排中，提到Mallat与Meyer的师生关系，指出大数学家的风范和气度，本来，MAllat算法的理论基础是多分辨分析概念，这一概念是Mallat提供的思想，后经与其导师Meyer的研讨，经过其导师Meyer用严格的数学语言浓缩抽象提炼而成的，但其导师在Mallat发表的文章中却没有要求署上自己的名字，使得Mallat一炮走红，这种甘为人梯的精神值得称颂。同时提到Mallat对同行的协作精神，他非常欢迎国外的同行与其交流讨论，胸怀坦荡，为国外同行的研究提供很多便利。提到他的第一学历，其实也不高，是一个半军事化的类似于我们国家的专科学校，但他发愤图强，依然取得了斐然的成就。并同样列举哈尔滨工业大学航天学院高会军为例，他的第一学历也不高，但在控制领域依然取得了斐然的成就，发表有影响的SCI、EI检索的高水平期刊文章100多篇，是院士的节奏，从而激发了学生的学习兴趣。

七、二维小波变换原理与实践

通过二维小波变换的上机实践，学生可以更直观地理解二维Mallat算法。通过一个二值图像的分解，领会到二维分解的近似部分信息以及分解得到的三个高频信息，分别是水平方向的细节，垂直方向的细节以及对角方向的细节。通过典型图像Lena的分解更加深入地理解二维小波变换对彩色图像的分解效果。并启发学生如何进行图像的高分辨率放大。

八、信号的分解与重构

对具体的一维信号案例，比如一段大型交响乐进行分解，得到各个频段的频谱特征，从而具体分辨出有哪几种乐器参与了演奏。对于实测的雷达信号分解，分辨出飞机的种类，是客机、轰炸机、歼击机、运输机、预警机，还是电子侦察机等。

在提高篇内容上机实践部分，主要采取课堂讲授和学生讨论的形式，要求学生以大作业形式完成，可以进行拓展和延伸。这部分内容以案例为主线，选取具有代表性、注重时效性的工程案例，支撑关键知识点，针对案例的工程情境，结合视频播放，通过设计具有逻辑性的系列问题，引导学生深入思考，调动学生主动学习的积极性，增加学生思辨的兴趣，增强工程理论课程教学的信服力。同时选取典型工程案例，比如，小波分析在电力负载信号处理中的应用，指出电力系统在线监测中的检测信号含有大量的现场背景噪声，给传统方式的数据采集与故障诊断带来很大的困难，指出以处理瞬态信号、含宽带噪声信号等见长的小波分析应用于电力系统在线监测是大有前途的。通过小波分析传感器故障检测和奇异点定位与消除案例演示，让学生体会到小波分析在工程领域的巨大作用。为延伸对小波知识的理解，我们引导学生对以下问题进行思考：（1）如何利用小波检测传感器故障;（2）如何利用小波进一步抑制噪声;（3）如何利用小波在细节系数中识別信号模式;（4）如何利用小波定位并抑制偏离点;（5）如何利用小波研究丢失信息。

另外，有机融入课程思政授课。教师多年来在教学一线和科研实践中积累了大量的工程素材，同时结合平时积累的两个“思政元素库”，从中选取合适的元素重新设计教案。这两个思政元素库，一个是从哈工大的办学历史和教学传统中发掘素材，一个是结合学科特点积累的最新工程案例、时政新闻素材等。将工程案例与课程思政有机融合，为课程赋予灵魂。结合国内外工程领域的发展趋势，精选具有警示作用和感召力的工程案例，采用正反结合的选取模式，讲述并分析实际工程案例发生的前因后果，展示具体伦理道德困境。通过正面案例的讲解，充分体现我国工程的先进性及工程师的职业伦理道德，引导学生在工程活动中进行伦理思辨。同时，适当选取反面案例，分析由于违背自然规律、违规操作、未排除安全隐患等，引发的工程问题及产生的后果。借助栩栩如生的生动案例，分析辨识案例中存在的伦理道德问题，引导学生深入、自主思考，并触及其心灵深处，鼓励学生充分表达自己的观点，培养学生的工程伦理意识和道德素养。

在具体的课程讲解中引入习近平总书记提出的生态文明建设思想，融入课程思政元素，以工程案例为主线，如讲解工程的价值导向性，介绍哈工大的刘永坦院士承担的新体制雷达工程，为我国筑起海防长城，对于雷达信号处理，指出也可应用小波;以思政为灵魂，把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，结合课程内容，于无声处融入思政元素，为课程赋予灵魂。落实价值塑造、能力培养、知识传授“三位一体”的人才培养目标，进一步激励学生的爱国情怀。

在实践教学过程中，授课教师亲临实验环境，不厌其烦地为学生上机过程中产生的疑问解答，与学生交流、讨论、互动，从而真正实现了教学互长，互相促进。

总之，小波理论与应用这门课程，在以往的教学中，由于偏重于理论教学，学生普遍反映课程抽象、枯燥。在增加实践教学内容并有机渗透了课程思政内容后，学生普遍反映这门课程理论性、应用性和趣味性都比较强，印象深刻，提高了逻辑思维能力和实践动手能力，收获颇多。这门课程为学生进一步走向科研领域打下坚实的基础。学生反响都比较强烈，评教由以往的接近90分的B+，上升到93.5分的A，离95分的A+仅一步之遥。

编辑 张 俐