李海敏

【摘   要】  核心素养强调培养“关键能力”，而解决问题的能力是核心素养的重要组成部分，它由数学建模、数据分析、数学运算、数学沟通与交流等多个环节组成，是提高学生数学学习能力的重要途径。在初中的数学教学过程中，教师有必要基于问题解决，设法培养学生的关键能力。

【关键词】  初中数学;问题解决;关键能力;核心素养

解決问题能力是核心素养的重要组成部分，也是提高数学学习能力的重要途径，它由数学建模、数据分析、数学运算、数学沟通与交流等多个环节组成，在这四个环节中，我们可以发现它们与课程标准中的九个核心概念有关，但又不尽相同，所以，我们初中数学教师有必要对其进行研究。

一、数学建模，问题解决的能力基础

数学建模就是建立数学模型。数学建模能力是指学生运用已有知识建立数学模型，把实际问题转化成数学问题的能力。所以，数学建模能力是学生解决数学问题的一个非常重要的基础。

例如在《一元二次方程》的教学中，为了帮助学生建立一元二次方程模型，教师可以为学生提供一个实际问题，使学生了解一元二次方程模型在解决问题过程中的作用，并体验数学模型在解决问题中的作用。为了达到这一目的，我是这样设计的：一个学生想在社区活动中设计一个人物雕塑，他通过查找资料后发现：“人物雕塑腰线以下的长度：全身高度=腰线以上长度：腰线以下的距离”，这样的雕塑才是最美的。如果他要设计的雕塑高度是0.6米，腰线以上应该有多高？这一问题设置在社区情境下，学生具有一定的熟悉感，但是比例关系较为复杂，要求学生深入思考。在这个过程中，如果直接基于文本对主题的描述，那么建立比例关系就更加复杂了。在实际教学中，学生可以先尝试独立解决问题，教师可以在巡查过程中找到通过画图的方法来解决问题的学生。然后，在建立方程时，让学生在黑板上板演：用一条垂直线段表示雕塑，用A、B两点分别表示人物的头顶和脚底，中间用一个C点表示腰，假设BC的长为x，那AC的长则为0.6-x，根据最佳的比例关系，得到方程式x：0.6=（0.6-x）：x，然后转化为0.36-0.6x=x2。之后，引导学生组织公式得到x2+0.6x-0.36=0，然后从“元”与“次”的角度定义方程。到目前为止，解决这个问题的主要过程已经完成，剩下的就是解这个方程。从构造模型的角度来看，方程的推导并不意味着模型已经建立。在这里，我们应该引导学生重新思考：我们是如何找到解决问题的方法的？这个问题有助于学生形成数学模型意识。因为在反思的过程中，学生将关注两个方面：第一，学生会说是方程起到了关键的作用，那为什么问题中的比例关系变成了一个方程？为什么有些学生没有发现到这点？因此，一些学生又会提出画图也是一个重要的环节，即用一个线段和相应的点来表达雕塑的要求及其比例。

因此，本课数学模型意识的培养有两个重要环节：一是实际雕塑用一条垂直线段表示;二是比例关系演化为一元二次方程。前者是对实物的抽象，后者是抽象后得到的数量关系。在这一环节中，只要学生认识到这两点，特别是由于方程的存在，就有可能解决这个问题。这是数学建模的关键，自然也是培养抽象能力的关键。

二、数据分析，问题解决的能力保障

许多学生对数据分析有误解，他们认为解决数学问题的关键在于针对问题列式求解，数据分析只是一个低级的数据处理过程。事实上，在当今数学学习的背景下，数据分析是学生用不同的方法提取信息和数据、辨别信息和数据、利用信息和数据，然后思考其与解决实际问题的相关性的一个重要过程。

在初中数学教学中，数据分析主要是在数学知识的应用过程中。利用二次函数求最大利润的问题往往是基于实际生活，学生对生活比较熟悉，也可以更直接地运用数学工具来求解。例如，一个购物中心最初的商品价格是每件60元，每月可以卖出300件，如果价格上涨1元，销量减少10件，价格下跌1元，销量每月增加20件。已知这一商品的进货价格是40元，那么如何确定价格以保证月利润最大化呢？

很明显，解决这一问题的关键在于售价与数量这两者关系的把握。而这涉及到一个采购价格、三种售价、三个相应的销售量和相应的利润，这样的数据关系不容易掌握，怎么办？我们可以使用上面提到的模型思想，使用表格来表示特定的关系。教师可以从数量的角度确定表中的行与列的要素：“行”由售价、单件利润、销售量和利润总额组成，“列”由原价和调整后的价格组成。这是一个学生从研究问题中数据到找出数据之间的关系的过程。具体来说，从原价60到调整价60+x，从原利润20到调整利润20+x，从原销量300到调整销量300-10x，再从原利润总额20×300到调整价利润总额（20+x）（300-10x）。至止，基于数据分析的利润总额表达式已经出现了。

在这个过程中，学生的思维实际上经历了从复杂到简单的过程。他们从复杂到简单的原因是数据分析。提取销售价格、单件利润、销售量和总利润的过程就是学生进行数据分析的过程。

三、数学运算，问题解决能力的体现

数学运算是利用数学规则和运算法则来进行运算的过程，理解运算过程中的算理，进而寻求更简洁、更科学的运算方法。初中数学教学的一个优良传统是在运算过程中追求最优化的运算技能。从问题解决的角度来看，这有助于学生形成良好的数学直觉，这是核心素养所强调的“关键能力”的重要组成部分。

例如，在一元二次方程求解时，学生是否能快速感觉到x2-4x+4=0是一个完全平方式，而x2+4x-4=0不是一个完全平方式;学生是否能快速感知到x2+5x+6=0可以转换成（x+2）（x+3）=0。实际上，这是学生运用数学规则水平的反映，也是数学运算能力的反映。在实践教学中，我们经常看到学生在这些问题上犯错误。在订正时，我们通常从理解和运用规则的角度让学生进行重复练习。这种训练的优点是可以促进学生思维能力的提高，帮助学生将逻辑思维转变为直觉思维。从这个角度看，数学运算体现了解决问题的能力。

总之，初中数学教学中，以问题解决为基础，对学生进行关键能力的培养，不但可以为学生提供一条数学学习的主线，而且可以有效地提升学生的核心素养，对一线教师具有一定的借鉴意义。