刘颖欣

【摘要】  割补法是高中立体几何教学中较为常见的方法，可以有效地将抽象的立体几何进行“割补”，辅助学生解决特殊立体几何问题，降低知识的难度，提升解题效率。本文从割补法在高中立体几何中的应用意义入手，深入进行分析，并通过实际的案例进行探讨，以供参考。

【关键词】  高中 立体几何教学 割补法

【中图分类号】  G633.6             【文獻标识码】  A   【文章编号】  1992-7711（2019）02-146-01

引言

割补法的实质是对几何体进行合理的分割或者补形，进而发现其与已知几何之间存在的关系，呈现出一种全新的构造思想，并利用对立统一的辩证思维帮助学生思考问题，提升其创新意识，形成立体思维，提高学生的数学综合素养水平。

一、割补法在高中立体几何教学中应用的意义

受高中立体几何自身的性质影响，具有较强的抽象性，学生在学习相关知识过程中，经常出现难以理解的内容，难以直观的感受知识内涵，影响自身的学习效果，逐渐对立体几何知识失去兴趣。灵活利用割补法进行教学，可以促使学生形成良好的数学思维，通过割补将抽象的立体几何转换为学生熟悉的知识内容，达到“归化”思想的目的，有效的解决立体几何问题。与此同时，通过割补法进行分割与补充可以从整体上提升学生的学习兴趣，促使其积极主动进行学习，养成良好的学习习惯，提升自身的数学综合素养，全面发展。

二、高中立体几何教学中割补法的应用分析

（一）分割法

分割法的实质是将立体几何进行合理的分割，将抽象的几何体分割为学生熟悉的几何体，通过分析各部分之间的关系明确其整体的性质，以达到解题的目的，降低习题的难度。例如，以习题为例，已知三棱锥P-ABC，其中PA长为4，PB=PC长为2，∠APB=∠APC=∠BPC均为60°求：三棱锥P-ABC的体积，如图1所示。

分析：在例题中可以将三棱锥P-ABC进行分割，分割为两个三角形，通过三角形体积计算出三棱锥P-ABC的体积。

解题：以BC的中点D为连接点，连接PD、AD，并以此为基础过P点作PH⊥AD，通过条件分析已知可证明H为△ABC的垂足，因此PH即为三棱锥P-ABC的高，由棱锥体积公式VP-ABC=■SΔABC·PH即获得三棱锥P-ABC的体积。

在上述解题过程中，灵活应用分割法将三棱锥P-ABC进行合理的分割，但实际上△PAD面积为不规则图形，并且其三边分别为4，■，■，在计算时较为复杂，不易计算出结果，可以灵活选择延长PB、PC至E、F，使PE=PF长为4，则三棱锥P-AEF是正三棱锥，由此证明BC是边EF上的中位线，进行有效的计算。经过延长发现BC与EF的比为1：2，因此可知SΔPBC与SΔPEF的比值为1：4，又根据立体已知条件明确三棱锥A-PBC与三棱锥A-PEF的高相等，计算出VA-PBC与VA-PEF的比值为1：4，通过VA-PEF=■■计算出VP-ABC体积为■■.

（二）补形法

补形法主要的实质是利用补方式将原有的抽象几何转变为全新的几何体，并研究其新几何体的性质，降低知识的难度。例如，以习题为例，一个四面体的

所有棱长都为■，并且其几何体的四个顶点处在一个球面上，计算出球的表面积为，如图2所示。

分析：通过分析明确三角形的ΔADC的重心，并设其重心为E，由此可知

的重心为E，则球心在线段BE上，可在直角三角形进行合理的计算，但受其几何体因素影响，在计算过程中较为复杂，可以选择补形法进行计算。

解题：以现有的图形为基础，将正四面体补充为一个球形，实现正方体的外接球，由此可知正四面体的棱长为■，进而计算出正方体的棱长为1，由此可知外接球半径为■/2，计算出球形的体积为3π.

例如，另一习题中，也同样采用补形法进行计算，已知的几何体ABCD-EFGH是一个平面截长方体的剩余部分，并已知AB=4BC=3，AE=5，BF=8，CG=12，求几何体ABCD-EFGH的体积。

分析：在计算过程中，应首先分析当前的梯形ACGE，并且BFHD中的位线相重合，进而明确其DH的长为9，选择补形法进行应用，延长其边长AE，BF，CG，DH，获取其延长点，将整体的图形进行合理的补充，最终获取点

A′B′C′D′，并保证AA′=BB′=CC′=DD′=17，通过其条件计算出EA′=12，FB′=9，GC′=5，HD′=8，最终可知经过补形的长方体ABCD-A′B′C′D′的体积与几何体ABCD-EFGH的体积比为2：1，由此可以计算出VABCD-EFGH=1/2VABCD-A′B′C′D′=1/2×3×4×17=102，获得最终的体积数值。灵活选择补形法有效的促使其抽象度降低，帮助学生明确问题的实质，从整体上进行几何图形优化，充分利用已知条件，达到解决问题的目的。

结论

综上所述，割补法在高中立体几何教学中的应用，可以从整体上降低立体几何的难度，并帮助学生将抽象的图形进行合理的转化，转化为学生熟悉的知识内容，通过分割或者补充进行知识的归化，帮助学生明确问题的实质，从整体上思考问题，促使问题更加直观，创新学生的思维，促使学生提升自身的数学综合素养水平，实现全方面发展。

[ 参  考  文  献 ]

[1]万赢银.培养直观想象素养的立体几何教学——以“直线与平面平行”教学为例[J].高中数学教与学，2019（06）：20-22.

[2]汪留屿.基于直观想象素养下立体几何概念课的设计与反思——以“棱柱、棱锥和棱台”为例[J].中学教研（数学），2019（03）：21-24.

[3]史祖伟.谈高中学生空间图形观念的构建[J].高中数学教与学，2019（04）：10-13.

[4]段伟.挖掘高考试题，增效高三教学——基于2018年高考理数18题的立体几何复习[J].中学数学研究（华南师范大学版），2019（02）：41-44.